Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali

10.3-masala. Quyidagi

u(x,0) = 0.2x(1-x) sin  x,
u_t (x,0) = 0, u(0,t)=u(1,t)=0 (10.53)
aralash masalani to‘r usulida yechimini topish
Yechish: Qadami h=ℓ=0.05 bo‘lgan kvadrat to‘r olamiz. Boshlang’ich ikki qatlamdagi u(x,t) ning qiymatlarini ikkinchi usul bilan topamiz:
F(x)=0 va f(x)=0.2x(1-x)sinx ekanligini etiborga olib
(10.54)
larni topamiz.
Jadvalni tulgizish tartibi:

1. 
   x_i=ih larda u_i0=f(x_i) qiymatlarni hisoblaymiz (t₀=0 dagi kiymtalarga mos keladi) va ularni birinchi satrga yozamiz. (3.1- jadval) Jadvalni masalaning simmetrikligi asosida bo‘lganda tuldiramiz. Birinchi ustunga (x₀=0 ga mos) chegaraviy qiymatlarni yozamiz.
   

2) (10.54) formula asosida u_i1 larni u_i0 ning birinchi satridagi qiymatlari asosida topamiz. Natijalarni 3.1 jadvalning ikkinchi satriga yozamiz.
3) (10.44) formula asosida u_ij ning keyingi qatlamalaridagi qiymatlarini hisoblaymiz.
j=1 bo‘lganda
u₁₂=u₂₁+u₀₁-u₁₀=0.0065+0-0.0015=0.005
u₂₂=u₃₁+u₁₁-u₂₀=0.0122*0.005-0.0056=0.0094
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u_10.2=u_11,1+u₉₁-u_10,0=0.8478+0.0478-0.05=0.456
SHuningdek, j = 2, 3 , … , 10 lar uchun ham hisoblab, quyidagi jadvalni tuldiramiz. Jadvalning oxirigi satrida t=0.5 bo‘lgandagi yechimning aniq qiymatlari yozilgan.
10.7-adval

tj\ xi	0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,219
0	0	0,0015	0,0056	0,0116	0,0188	0,0265
0,05	0	0,0028	0,0065	0,0122	0,0190	0,0264
0,10	0	0,0050	0,0094	0,0139	0,0198	0,0260
0,15	0	0,0066	0,0224	0,0170	0,0209	0,0256
0,20	0	0,0074	0,0142	0,0194	0,0228	0,0251
0,25	0	0,0076	0,0144	0,0200	0,0236	0,0249
0,30	0	0,0070	0,0134	0,0186	0,0221	0,0236
0,35	0	0,0058	0,0112	0,0155	0,0186	0,0199
0,40	0	0,0042	0,0079	0,0112	0,0133	0,0144
0,45	0	0,0021	0,0042	0,0057	0,0070	0,0074
0,50	0	0,0001	-0,0001	0,0000	-0,0002	0,0000
	0	0	0	0	0	0

10.3-Maple 7 dasturi


10.3-masalada tenglama bir jinsli bo’lgan holda Umumiy va taqribiy yechimni topish:
> with(PDEtools):
> PDE := diff(u(x,t),t,t) -a^2* diff(u(x,t),x,x)=0;

> struc := pdsolve(PDE,HINT=f(x)*g(t));

> PDEtools[build](struc);

> PDE := diff(u(x,t),t,t)-diff(u(x,t),x,x)=0;

> IBC := {u(x,0)=0.2*x*(1-x)*sin(Pi*x), u(0,t)=0, u(1,t)=0,D[2](u)(x,0)=0};

> pds := pdsolve(PDE,IBC,numeric);



> p1 := pds:-plot(t=0):
p2 := pds:-plot(t=1/10):
p3 := pds:-plot(t=1/2):
p4 := pds:-plot(t=1):
p5 := pds:-plot(t=2):
plots[display]({p1,p2,p3,p4,p5},
title=`Heat profile at t=0,0.1,0.5,1,2`);






> pds:-value(t=1,output=listprocedure);

> uval := rhs(op(3,%));

> fsolve(uval(x)=1/2,x=0..1);

> pds:-plot3d(t=0..1,x=0..1,axes=boxed,
orientation=[-120,40],
color=[0,0,u]);

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ROʻYHATI

1. 
   Abdirashidov A., Suyarshayev M.M. Gidrodinamikaning asosiy masalalarini sonli yechish usullari. Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2014. – 92 bet.
   
2. 
   Articolo G.A. Partial differential equations and boundary value problems with Maple. – 2nd ed./ 2009, Elsevier Inc. All rights reserved. - 733 p.
   
3. 
   Richard L. Burden and J. Douglas Faires. Numerical Analysis. Ninth Edition, Boston, USA, 2011. – 895 p.
   
4. 
   L.Ridgway Scott. Numerical Analysis. Princeton University Press, 2011.- 342p.
   
5. 
   Абдухамидов А.У., Худойназаров С. Ҳисоблаш усулларидан амалиёт ва лаборатория машғулотлари. – Тошкент: Ўқитувчи, 1995. – 240 б.
   

Internet saytlar
www.edu.uz;
www.exponenta.ru;
www.intuit.ru;
www.ziyonet.uz;
www.techlibrary.ru