Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy Universiteti Jizzax filiali

Yechimni boshlang’ich qatlamdagi yechim qiymatlari asosida hisoblash.
Demak (10.38)–(10.40) masalaning taqribiy yechimini topish uchun yechimning birinchi ikki boshlang’ich qatlamdagi qiymatini bilish zarur. Bularni boshlang’ich shartlardan topishning quyidagicha usullaridan foydalanimiz:
BIRINCHI USUL: (10.39) boshlang’ich shartda u_t(x,0) hosilani quyidagicha ayirmalar nisbati bilan almashtiramiz.

u(x,t) funktsiyaning j = 0, j = 1 qatlamdagi qiymatlarini topish uchun
u_{i 0} = f_i, u_i1 = f_i + l _i (10.45)
ga ega bo‘lamiz.
Bu holda u_i1 qiymatlarining xatoligini baholash quyidagicha bo‘ladi.
(10.46)
bu yerda
IKKINCHI USUL:u_t(x,t) hosilani (u_i1-u_i,-1)/(2m) ayirmalar nisbati bilan almashtiramiz, bu yerda u_i,-1, _j = -1 qatlamdagi u(x,t) funktsiyaning qiymatlari. Bu holda (10.39) boshlang’ich shartdan
(10.47)
larni topamiz. (10.44) ayirmalar tenglamasini j=0 qatlam uchun quyidagicha yozamiz:
u_i1 = u_{i+1, 0} + u_{i-1, 0} – u_i,-1 (10.48)
(10.38), (10.39) tenglamalardan u_i,-1 qiymatlarni yo‘qotib.
(10.49)
ga ega bo‘lamiz. Bu holda u_i1 qiymatlarning xatoligini baholash quyidagicha bo‘ladi:
(10.50)
bu yerda
UCHINCHI USUL: Agar f(x) funktsiya ikkinchi tartibli chekli hosilaga ega bo‘lsa, u_i1 qiymatlarni Teylor formulasi yordamida quyidagicha aniqlash mumkin.
(10. 51)
(10. 41) tenglamadan va (10.39) boshlang’ich shartlardan foydalanimiz, quyidagilarni yozish mumkin:

Bu holda (10.51) formulaga asosan.
(10.52)
ekanligini topamiz. u_i1 ning bu formula yordamida topilgan qiymatlarining xatoligining tartibi 0(h³) bo‘ladi. SHuningdek,

bir jinsli bulmagan tenglama uchun aralash masala yukoridagidek yechiladi. Bu holda ayirmalar tenglamasi quyidagicha bo‘ladi: