Minorlar ham algebraik toldiriwshilar qasiyetlerin

10.2-qasiyet. Determinanttin qalegen sani elementlerin basqa bir san algebraik toltiriwshilarga kobeymeleri qosindisina nolge ten. Yagniy

ai,1 Ak,1+ ai,2 Ak,2+………+ ai,n Ak,n=0, bil jerde i

(10.3)-dalil. Bizge belgili

a1,1 … a1,j … a1,n

… … … … …

ai,1 … ai,j … ai,n

det(A)= … … … … … =ak,1Ak,1+ ak,2 Ak,2 +…+ ak,n Ak,n.

ak,1 … ak,j … ak,n

… … … … …

an,1 … an,j … an,n

Usi tenlemenin’ on tarepi ak,1,ak,2,..….,ak,n elementleri mas rawishte ai,1,ai,2, ..… , ai,n lar menen almastirsaq,

a1,1 … a1,j … a1,n

… … … … …

ai,1 … ai,j … ai,n

ak,1Ak,1+ ak,2 Ak,2 +…+ ak,n Ak,n = … … … … … =0

ak,1 … ak,j … ak,n

… … … … …

an,1 … an,j … an,n

ekenligin payda qlamiz.

Endi minor tusinigin kiritemiz. Usi temada tek n-1-tartibli minorni aniqlaw menen shegaralanip, qalegen tartibli minor tariypin kiyingi temada keldiremiz.

Determinantin’ n-1 – tartibi minor dep, onin’ i-satr ham j-ustini asiriwda payda bolg’an n-1 –tartibi determinanda aytiladi ha’m I,j usinday etip belgilenedi, ja’ne

a1,1 … a1,j-1 a1,j+1 … a1,n

… … … … … … I,j = ai-1,1 … ai-1,j-1 ai-1,j+1 … ai-1,n

ai+1,1 ... ai+1,j-1 ai+1,j+1 ... ai+1,n

… … … … … …

an,1 … an,j-1 an,j+1 … an,n

10.3-orinlaw. Ai,j= I,j,ja’ne algebraic toltiriwshi onin’ mas n-1 tartibli minor menen tek korsetkishke ozgeriw mu’mkin.

Dalil. Orinlaw jumisinda daslep, i=j=1 minanday usilda korsetemiz:

1 0 … 0

A1,1= 0 a2,2 ... a2,n

... … … …

0 an,2 … an,n

Determinant tartibine qarap A1,1 = a1,a1*a2,a2*…*an,an

Lekin a1,1=1 ham a1,k =ak,1 =0, 2 bolg’anlig’I ushin, a1=1 bo’lib, a2,…, an sanlari bolsa 2,… ,n sanlarinan payda bolg’an orin almastiriw boladi. Bunan tisqari

inv(1,a2, … ,an)=inv(a2, … ,an)

ekenligin esapqa alasiz,

A1,1 = a1,a1*a2,a2*…*an,an =

a2,2 … a2,n a2,a2*…*an,an = … … … = 1,1

an,2 … an,n

kelib shig’adi.

Endi tastiqti qalegen I ha’m j usilda esaplaymiz.

a1,1 … a1,j-1 0 a1,j+1 … a1,n

… … … … … … … . ai-1,1 … ai-1,j-1 0 ai-1,j+1 … ai-1,n AI,j = 0 … 0 1 0 … 0

ai+1,1 ... ai+1,j-1 0 ai+1,j+1 ... ai+1,n

… … … … … … …

an,1 … an,j-1 0 an,j+1 … an,n

Determinantin 9.6-qasiyeten paydalanib, usi determinanta 1 sandi shep joqarg’I muyeshke koshiremiz. Bul ushin i-qatar- -dan izbe-iz o’zinen alding’i qatarlar menen, son’ j-u’stini o’zinen aldin’g’i u’stinler menen almastiriw kerek. Bul almastiriwlar na’tiyjesinde determinanttin’ ma’nisi tek = ge o’zgeriwlerin esapqa alsaq,

1 0 … 0 0 … 0

0 a1,1 … a1,j-1 a1,j-1 … a1,n

… … … … … … … AI,j = 0 ai-1,1 … ai-1,j-1 ai-1,j+1 … ai-1,n . 0 ai+1,1 ... ai+1,j-1 ai+1,j+1 ... ai+1,n

… … … … … … …

0 an,1 … an,j-1 an,j+1 … an,n

Joqarida dalilengen i=j=1 halda paydalanib, Ai,j = I,j ekenligin payda etemiz.