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MInorlar ham algebraik toldiriwshilar qasiyetlerin
Dalillew
n-shi tártipli determinantlardıń anıqlamasınan paydalanıp esaplaw, yagnıy hár saparı n! agzalardı jazıp shıgıp esaplaw ádewir mashaqatlı. Sonlıqtan, olardıń tártibin kishireytip esaplaw jumıstı ádewir jeńilletedi. Usı maqsetti kózde tutıp tómendegi túsinikti kirgizeyik. d determinattıń tártibi n bolsın k sanın (1 saylap hám usı determinantınan qálegen k qatar hám k bag’ananı alayıq. Saylap alıngan qatarlardıń hám bag’analardıń kesispesinde turgan elementlerden dúzilgen k tártipli determinant k tártipli minor dep ataladı. k tártipli minordı sál basqasharaqta anıqlaw múmkin. k qatar hám k baganaga kirmegen n-k qatar menen n-k baganalardı sızıp taslag’annan keyingi sızılmay qalg’an qatarlardan hám bag’analardan k tártipli determinanttı k tártipli minor dep ataymız. Dara jag’dayda, ( k=aij bolg’anda) qálegen bir qatar hám bag’ananı sızıp taslag’annan keyin qalg’an n-1tártipli anıqlawısh, ol n-k tártipli minor boladı.
Birinshi tártipli minorlar bolıp berilgen determinanttıń qálegen bir elementleri xızmet etedi. Meyli n shi tártipli d determinantında k tártipli M minorı alındı deyik. Usı M minorı turg’an qatarlar menen bag’analar sızıladı desek, onda sızılmay qalg’an elementlerden turg’an, tártibi n-k bolg’an M^ minorın M minorınıń tolıqtırıwshı minorı dep ataymız. Eger kerisinshe, M^ minorı turg’an qatarlar menen bag’analardı sızıp tasladıq dep esaplasaq, onda M minorı sızılmay qaladı. Solay etip, óz-ara birin-biri tolıqtırıwshı minorlar jubayı haqqında pikir júrgiziwge boladı.
Endi biz determinantlarni esaplawda zarur waziypasin islewshi minor ham algebraik toldiriwshi tusiniklerin kritemiz. Minorlar ham algebraik toldiriwshilar detireminatlarga tartibin paseytip esaplawda tiykargi rol oynaydi.
Bizge tomendegi n-tartipli detireminat berilgen bolsin.
a1,1 a1,2 … a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n
... … … …
an,1 an,2 … an,n
Determinattin qalegen ai,j elementinin algebraik toltiriwishisi dep ai,j elementin 1 menen i-satr ham j-bagana qalgan elementlerin nolleri menen almastiriwdan payda bolgan determinatqa aytiladi, yagniy ai,j elementinin algebraik toldiriwshisi tomendegishe koriniske iye:
A1,1 … 0 … a1,n
… … … …
0 … 1 … 0
… … … …
an,1 … 0 … an,n
Berilgen ai,j elementinin algebraik toldiriwshisi Ai,j kibi belgilenedi.
10.1-esap. Determinattin juwabi onin qalegen elementleri menes mas algebraik toldiriwshilari kobeymelerine qosindisa ten, yagniy
Det(A)=ai,1Ai,1+ai,2Ai,2+…+ai,nAi,n.
10.1 esabat. Tastiyiqtin dalillew ushin determinattin tomendegi korinisinde jaza alamiz:
a 1,1 … a1,j … a1,n
… … … … …
det(A)=ai,j ai,1 … ai,j … ai,n =
… … … … …
an,1 … an,j … an,n
a 1,1 … a1,j … a1,n
… … … … …
ai,1+0+…+0 … 0+…+ai,j+…+0 … 0+…+0+ai,n
… … … … …
an,1 … an,j … an,n
9.3-esap kore determinant n ta determinatlar qosindisi turinde sawlelendiriw mumkin:
a1,1 … a1,j … a1,n a1,1 … a1,j … a1,n
… … … … … … … …
det(A)= ai,1 … 0 … 0 +…+ 0 … ai,j … 0
… … … … … … … …
an,1 … an,j … an,n an,1 … an,j … an,n
a1,1 … a1,j … a1,n
… … … … …
+…+ 0 … 0 … ai,n
… … … … …
an,1 … an,j … an,n
Payda bolg’an determinanantlardin i-sanlarinan mas rawishte ai,1,ai,2,…..,ai,n sanlarini determantlar sirtina shig’arip jazamiz:
a1,1 … a1,j … a1,n
… … … … …
Det(A)=ai,j 1 … 0 … 0 +…+
… … … … …
an,1 … an,j … an,n
a1,1 … a1,j … a1,n a1,1 … a1,j … a1,n
… … … … … … … …
+ai,j 0 … 1 … 0 +…+ai,n 0 … 0 … 1
… … … … … … … …
an,1 … an,j … an,n an,1 … an,j … an,n
Usi determinantlardi algebraik toldiriwshilarga ten ekenligin koriw qiyin emes . Bunin ushin birinshi determinanttin i-sanin –a1,1 ge kobeytip birinshi sanga, - a2,1 ge kobeytip ekinshi sanga, ham tagi basqa -an,1 ge kobeytip aqirgi sanga qossaq Ai,1 algebraik toldiriwshi boladi.
Usi tarizde qalgan determinantlar Ai,2,…………….. Ai,n algebraik toldiriwshilardi beredi, Demek,
Det(a)= ai,1 Ai,1+ ai,2 Ai,2+………+ ai,n Ai,n
Determinanttin usi qasiyeti oni bir sani boyinsha jayiw qasiyeti delinedi.
Eger det(A)= ai,1 Ai,1+ ai,2 Ai,2+………+ ai,n Ai,n jayilmada i-saninin elementleri qalegen n ta sanlar sistemesi b1, b2,…….,bn menen almastirsaq, payda bolatugin
bi,1 Ai,1+ bi,2 Ai,2+………+ bnAi,n
anlatpa determinanttin i-sanin usi sanlar menen almastiriw natijesinde payda bolatin usi
a 1,1 … a1,j … a1,n
… … … … …
b1 … bj … bn
… … … … …
an,1 … an,j … an,n
determinantqa ten boladi.
Demek, ayirim san algebraik toltiriwshilarin berilgen n ta
b1 ,b2 ,……, bn sanlarga kobeymelerdin qosindisi usi san elementlerin berilgen sanlar menen almastiriwdan payda bolgan matritsanin determinantina ten.
Bul juwmaqtan tomendegi qasiyet ansat kelip shigadi.
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