Министерство высшего и среднего специального образования республики узбекистан ўзбекистон республикаси

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ 
СИСТЕМ ПО ОТНОШЕНИЮ К ОСНОВНОМУ СОБСТВЕННОМУ ЗНАЧЕНИЮ. 
Т.К.Косимов к.т.н., доцент Раззаков Н.С., ассистент, Буронов С., студент СаМГАСИ 
Annotation 
This article discusses some of the issues of optimization uchitivayuschie eigenvalues 
samosapryazhennyh and fully certain tasks on their own values , such as , for example , the first 
frequency is free of axial , torsional or transverse vibrations of structures and beams , the first critical 
speed of the rotating shaft , the Euler critical load of buckling column. 
Рассмотрим прямолинейную одномерную конструкцию с продольной осью х.
конструкция имеет заданную длину L и переменное поперечное сечение с одинаковыми 
направлениями главных осей инерции. Пусть А(х) обозначает площадь поперечного сечения 
конструкции; линейно-упругому материалу присуща удельная конструктивная жесткость s (х) – 
жесткость на единицу длины конструкции. Соотношение между s (х) и А(х) зададим в виде 
),
(
)
(
x
cEA
x
s
p

L
x 

0
(1) 

---

147 
причем предполагается, что модуль Юнга Е, множитель с и показатель степени р- заданные 
положительные постоянные.
Хотя формулой (1) и накладываются ограничения на изменение поперечного сечения, ею 
описывается широкий класс конструкций. Так, осевым деформациям соответствует с=р=1. При
крутильной дивергенции или колебаниях тонкостенным подобным поперечным сечениям 
переменной толщины отвечает р=1, а геометрически подобным сплошным сечениям- случай 
р=2. При изгибных колебаниях балок, вращательной неустойчивости крутящихся валов и 
эйлеровой потере устойчивости колонн равенством (1) моделируются следующие типы 
поперечных сечений. Значение р=1 отвечает трехслойным поперечным сечениям заданной 
ширины с наполнителем постоянной толщины и нулевой жесткости и двумя одинаковыми 
несущими слоями переменной толщины, а также сплошным сечениям постоянной толщины и 
переменной ширины. Сплошным переменным сечениям заданной формы соответствует р=2, а 
сплошным прямоугольным сечениям постоянной ширины и переменной толщины – случай 
р=3. 
Отношение Рэлея при свободных осевых, крутильных или поперечных колебания, 
вращательной неустойчивости, неустойчивости по дивергенции или потере устойчивости при 
выпучивании для консервативной одномерной конструкции можно представить в виде 










L
i
i
i
r
L
p
x
y
f
Q
dx
x
y
f
x
q
x
bpA
dx
x
y
e
x
cEA
0
0
)]
(
[
)]
(
[
)
(
)
(
)]
(
[
)
(

(2) 
Здесь использовано представление (1) для жесткости, а через λ обозначен квадрат основной 
угловой частоты ω в конкретной задаче о колебаниях, квадрат первой критической угловой 
скорости ω в задаче вращения, эйлерова сила Р в задаче о потере устойчивости либо с 
точностью до множителя квадрат критической скорости v набегающего потока в задаче о 
дивергенции крыла. Через у (х) обозначена соответствующая мода смещения. Согласно 
принципу Рэлея для самосопряженной и вполне определенной задачи на собственные значения, 
величина λ стационара и равна первому собственному значению для основной моды у(х), 
выбранной среди всех кинематически допустимых функций смещения. 
Смещение у(х) и его производные входят в положительно определенные квадратичные 
формы е [y] и f [y], которые необходимо интерпретировать согласно типу конкретной задачи. 
Выражения для е [y] в задачах о поперечных колебаниях, вращательной неустойчивости и 
неустойчивости при выпучивании образованы согласно теории Бернулли Эйлера для балок. В 
формулы (2) предпологается, что для конструкции заданы линейно независимые однородные 
граничные условия и условия на возможных внутренних опорах. Упругие опоры для простоты
исключены из рассмотрения. 
При заданных длине и материале конструкции, форме поперечного сечения краевых 
условиях, а также в предположении простоты собственных значений задача оптимального 
проектирования может быть поставлена в следующей форме: 
Считая поперечное А(х) конструкции переменной проектирования и основное 
собственное значение λ функцией цели, определить такой проект конструкции, при котором λ 
максимально и выполняются интегральное ограничение на объем конструкции 

