Министерства высшего и среднего специального

1-misol. Tezkor tushish usili (gradiyent usuli) yordamida ushbu x  x^2  2 yz  0,1; ^ y  y^2  3xz  0, 2;^,  z  z^2  2xy  0,3. ^  tenglamalar sistemaning koordinata boshi atrofida yotgan ildizlarini taqribiy hisoblang. Yechish Berilganlarga ko‘ra

9-rasm. Gradiyent usuli algoritmining blok-sxemasi.

^ x  x²  2 yz  0,1 ^
_1  2x
2z
2 y _
⁰

 
f  ^ y  y²  3xz  0, 2^ ,
^{W }  ^{3z
1  2 y 3x}  ^{,
x0 } ⁰ ^.

^_ z  z²  2xy  0,3 ^_
 ^{2 y
2x 1  2z}_
_0_

40. 
    va (42) formulalar bo‘yicha quyidagi birinchi yaqinlashishni olamiz:
    

_{ f} ⁰_{, f} ⁰ _
 0,1 _

₀   1,


x^1  x^0 1 Ef ^0  _0, 2_ .

_{ f} ⁰_{, f} ⁰ _
 0,3 _

Xuddi shunday
_x²

• 
  ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz. Bu yerdan:
  

_{f 1  }0,13_
 1, 2 0,6 0, 4_
 ¹
_ 0,181_

_0,05_ ,
_0,05_
W₁  _ 0,9 1, 4 0,3_ ,
_0, 4 0, 2 1,6 _
W₁ f
 _0,002_ .
_0,147 _

_{WW f 1  } 0,181_
0,13 0,2748  0,05  0,2098  0,05 0,1632

_{1 1 }0,002_ ,  
_0,147_
0, 2748²  0, 2098²  0,1632²
 0,3719 .

_x²
_ 0,1 _{ } 0,181_{ } 0,0327 _
 0,37119  .

 _0, 2_{ }0,002_  _0, 2007_
 0,3 _{ }0,147_{ } 0, 2453 _
Natijaning qanchalik to‘g‘ri va aniq ekanligini tekshirish uchun tafovut hisoblaniladi.

10. Nochiziqli tenglamalar sistemasini Maple dasturi yordamida taqribiy yechish

1. 
   misol. Quyidagi
   

1
f x, y  2x³  y² 1  0^

  ^{3 }
f₂ x, y  xy  y  4  0 _
nochiziqli tenglamalar sistemaning yechimini  = 0,001 aniqlik bilan Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta musbat haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dasturi plots paketining

implication funksiyasidan foydalanib
^{f1(x, y)  0} va
f₂ (x, y)  0

funksiyalarning chizilgan grafiklaridan ko‘rish mumkin (10-rasm):

> plots[implicitplot]({2*x^3- y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},x=- 2..2,y=-3..3); Bu usulga ko‘ra dastlabki yaqinlashish ^x0 ^^1,2;^y0 ^^1,7kabi bo‘lsin. U holda x , y   ^6^x^0^^2^y^0yoki 2 ^0 ^0 y^3 3x y^2 1 0 0 0 1,2; 1,7  ^8,64^^3,40 97,910 . 4,91 9,40 (12) formulaga ko‘ra

10-rasm. 1-misolda berilgan nochiziqli tenglamalar sistemasi ildizining boshlang‘ich yaqinlashishni grafik usul bilan Maple dasturi yordamida aniqlash.

x₁  1,2 
 0,434
0,1956
8,64
 3,40
9,40


 0,434
 1,2  0,0349  1,2349^





y₁  1,7 


4,91


0,1956
 1,7  0,0390  1,6610 ^

Hisoblashlarni shu singari davom ettirib,
x₂  1,2343
y₂  1,6615
ni topamiz

va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Berilgan tenglamalar sistemasining mavjud bitta haqiqiy yechimini Maple dasturi yordamida ham analitik usulda aniqlaylik:

> solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},{x,y}); allvalues(%); evalf(%);

{ x  1.234274484, y  1.661526467 }

Natijalardan ko‘rinadiki, topilgan
x₂  1,2343
y₂  1,6615
- taqribiy

yechimni yetarlicha  aniqlikda topilgan deb hisoblash mumkin.
Endu bu masalani Maple tizimida sonli yechishni qaraymiz. Avvalo Yakob matritsasini linalg paketining jacobian funksiyasi yordamida hisoblaymiz, keyin esa uning teskarisini linalg paketining inverse funksiyasidan foydalanib hisoblaymiz. eval funksiyasi ifodaning son qiymatini beradi. evalm funksiyasi esa matritsa va vektorlar ustida amal bajarib, son natija beradi. Boshlang‘ich vektorni xx va eps aniqlik darajasi deb, Nyuton usuli bo‘yicha taqribiy hisoblashlarni bajaramiz:

> with(linalg):

F:=(x,y)->[2*x^3-y^2-1,x*y^3-y-4];

FP:=jacobian(F(x,y),[x,y]); FPINV:=inverse(FP);

xx:=[1.2,1.7]; eps:=0.0001; Err:=1000; v:=xx; v1:=[1e10,1e10]; j:=0:

for i while Err>eps do v1:=eval(v);

M:=eval(eval(FPINV),[x=v[1],y=v[2]]):

v:=evalm(v-M&*F(v[1],v[2])); Err:=max(abs(v1[1]-v[1]),abs(v1[2]-v[2])); j:=j+1;

end do;
Hisob natijasi quyidagicha:

F := ( x, y )  [ 2 x³  y²  1, x y³  y  4 ]
_6 x² 2 y _


FP :=
_{ y}3
_ 3 x y²  1
3 x y²  1^_
y _

_ 2 ( 9 x³ y²  3 x²  y⁴ ) 9 x³ y²  3 x²  y⁴ _


FPINV := _{ y3}
^
3 x^{2 }

^_ 2 ( 9 x³ y²  3 x²  y⁴ )
xx := [ 1.2, 1.7 ]
eps := 0.0001
Err := 1000
v := [ 1.2, 1.7 ]
9 x³ y²  3 x²  y^{4 }_

v1 := [ 0.1 10¹¹, 0.1 10¹¹ ]
v1 := [ 1.2, 1.7 ]
_{M := } 0.09600350200 0.03470990077 _
^-0.05015580660 0.08820398313 ^_
v := [ 1.234876263 , 1.660979681 ]
Err := 0.039020319
j := 1
v1 := [ 1.234876263 , 1.660979681 ]
_{M := } 0.09258867450 0.03335772210 _
^-0.04601453420 0.09187560387 ^_
v := [ 1.234274675 , 1.661526276 ]
Err := 0.000601588
j := 2
v1 := [ 1.234274675 , 1.661526276 ]
_{M := } 0.09264916080 0.03338417877 _
^-0.04608134315 0.09182868696 ^_
v := [ 1.234274484 , 1.661526467 ]
Err := 0.191 10^-6
j := 3
Natija shuni ko‘rsatadiki, hisob jarayonining 3-qadamida berilgan aniqlikdagi yechimga erishildi.

2. 
   misol. Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasining musbat yechimini  = 0,001 aniqlik bilan Nyuton usulida taqribiy hisoblang:
   

1
f x, y  0,1x²  x  0,2 y²  0,3  0;^
  ^{2 }
f₂ x, y  0,2x  y  0,1xy  0,7  0._

Yechish. Boshlang‘ich yaqinla- shishni tanlab olish uchun grafik usuldan, Maple dasturi plots paketining implication funksiyasidan foydalanib, (x,y) tekislikning bizni qiziqtiradigan sohasida f1(x, y)  0 va f2 (x, y)  0 egri chiziqlarning grafiklarini chizamiz (11- rasm): > plots[implicitplot]({0.1*x^2+x+ 0.2*y^2-0.3=0,0.2*x^2+y- 0.1*x*y-0.7=0},x=-2..2,y=-2..2); Bundan berilgan tenglamalar sistemasining biz izlayotgan musbat yechimi 0<x<0,5; 0<y<1,0 kvadrat ichida ekanligini ko‘ramiz.

11-rasm. 2-misolda berilgan tenglamalar sistemasi ildizining boshlang‘ich yaqinlashishini grafik usul bilan Maple dasturi yordamida aniqlash.

Boshlang‘ich yaqinlashishni
x₀  0,25;
y₀  0,75
deb qabul qilamiz. U

holda qaralayotgan misolimiz uchun quyidagilarni yozib olamiz:
f₁x₀ , y₀   0,1x²  x₀  0,2 y²  0,3  0; ^
_{ } 0 0 _

0 0 0 0 
f₂ x₀ , y₀  0,2x²  y  0,1x y  0,7  0,

f₁(x₀ , y₀ ) _{ 0,2x}
 1_;
f₁ (x , y₀ ) _{ 0,4 y ;}

x ^{0 y 0}

f₂ (x₀ , y₀ ) _{ 0,4x}
 0,1y _;
f₂ (x₀ , y₀ ) _{ 1  0,1x .}

x ^{0 0 y 0}

Tanlangan
X₀  (x₀ , y₀ )
larni (12) ning o‘ng tarafiga qo‘yib, dastlab

taqribiy
X₁  (x₁, y₁ )
ni topamiz:

x  0,25  ^0,05391  0,19498;^

1


y₁  0,75 
0,97969
0,04258


0,97969




 0,70654,^


o‘z navbatida esa
X ₂  (x₂ , y₂ )
= (0,19646, 0,70615) ni va
X ₃  (x₃ , y₃ ) ₌

(0,19641, 0,70615) ni topamiz va hokazo. Iteratsiya jarayonini (13) shart bajarilgunga qadar davom ettiramiz. Bu hisoblashlar berilgan sistemaning yechimi (x,y) = (0,1964; 0,7062) ekanligini ko‘rsatadi.
Bu topilgan yechimning qanchalik to‘g‘riligini Maple dasturi yordamida aniqlashtiramiz:

> solve({0.1*x^2+x+0.2*y^2-0.3=0,0.2*x^2+y-0.1*x*y-0.7=0},{x,y});

{ x  .1964115055 , y  .7061541848 } _.
Endi Nyuton usuli bilan misolning taqribiy yechimini topamiz:

> with(linalg):