|
Kirish……………………………………………………………....
|
4
|
1.
|
Nyuton usuli.………………………………………………………
|
4
|
2.
|
Takomillashtirilgan Nyuton usuli…………………………………
|
12
|
3.
|
Nyuton-Rafson usuli ……………………………………………..
|
13
|
4.
|
Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli)………………
|
15
|
5.
|
Oddiy iteratsiya usuli ……………………………………………..
|
17
|
6.
|
Zeydel usuli ………………………………………………………
|
26
|
7.
|
Parametrlarni qo‘zg‘atish usuli …………………………………..
|
27
|
8.
|
Pikar iteratsiyalari…………………………………………………
|
28
|
9.
|
Broyden usuli……………………………………………………..
|
29
|
10.
|
Tezkor tushish usuli (Gradiyent usuli)……………………………
|
32
|
11.
|
Nochiziqli tenglamalar sistemasini Maple dasturi yordamida taqribiy yechish……………………………………………………
|
36
|
12.
|
Nochiziqli tenglamalar sistemasini Mathcad dasturi yordamida taqribiy yechish……………………………………………………
|
49
|
|
Mustaqil ish topshiriqlari………………………………………….
|
57
|
|
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati……………………………….
|
60
|
Nyuton usuli
Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
f1 x1, x2 , ,
f2 x1, x2 , ,
fn x1, x2 , ,
xn 0
xn 0. (1)
xn 0
Ushbu (1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f x 0 . (1)
bu yerda
x x1, x2, ,
T – argumentlarning vektor ustuni;
n
T T
( f1, f2, ) – funksiyalarning vektor ustuni; (…) – transponirlash
operatsiyasi belgisi.
Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta nochiziqli tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish juda ko‘p hisoblashlarni talab qiladi yoki uni amaliyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish mumkin.
(1) tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, (1) vektor tenglamaning
izolyatsiyalangan inchi yaqinlashish
x x1, x2,
ildizlaridan bittasi bo‘lgan ushbu k -
1 2
xk xk , xk ,
topilgan bo‘lsin. U holda (1) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu
1
x xk k , (2)
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda tuzatuvchi had (ildizning xatoligi).
k k ,
(2) ifodani (1) ga qo‘yib, qyidagi tenglamani hosil qilamiz:
f xk k 0 . (3)
Faraz qilaylik,
f x
x k
larni o‘z ichiga olgan biror qovariq
D sohada uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo‘lsin. (3) tenglamaning
o‘ng tarafini
k
kichik vektor darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz va
bu qatorning chiziqli hadlari bilangina cheklanamiz:
f xk k
f xk
f xk k 0 . (4)
(4) formuladan kelib chiqadiki,
f x
hosila deb
x1, x2,
o‘zgaruvchilarga nisbatan
f1, f2,
funksiyalar sistemasining
quyidagi Yakob matritsasi tushuniladi:
f1
x1
f2
f1
x2
f2
f1
xn
f2
f x W x x x
x ,
1 2 n
fn
x1
fn
x2
fn
xn
f x W x fi ,
x
i, j 1, n .
j
(4) sistema bu xatolikni tuzatuvchi had
(k )
i
i 1, n
larga nisbatan
W x
matritsali chiziqli sistema. Bundan (4) formulani quyidagicha yozish
mumkin:
Bu yerdan,
W x(k)
f xk W xk k 0 .
maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib,
quyidagiga ega bo‘lamiz:
Natijada ushbu
k W 1 x k f x k .
x k 1 x k W 1 x k f x k ,
k 0,1,2,
(5)
Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda
x(0)
nolinchi yaqinlashish
sifatida izlanayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (1) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar (5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi:
Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulining algoritmini quyidagicha yozamiz:
x(0) boshlang‘ich yaqinlashish aniq- lanadi.
Ildizning qiymati (5) formula bo‘yicha aniqlashtiriladi.
Agar (6) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x(k1) (1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 2-qadamga o‘tiladi.
Hisoblashlarda (1) nochiziqli tenglamalar sistemasining f x funksiyalari va ularning hosilalari matritsasi W x aniq berilgan geymiz, u holda bu sistemani yechishning
blok-sxemasi 1-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi.
|
|
1-rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining algoritmi
|
f( x) vektor-funksiya x ildizi atrofida ikki martagacha uzluksiz
differensiallanuvchi va Yakob matritsasi
W x
maxsus bo‘lmagan
(aynimagan), ko‘p o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:
x(k 1) x
C x(k) x 2 .
Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.
Xususiy hol. Hisoblash amaliyotida n=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masalan, f(z)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mumkin. Haqiqatan ham, agar ushbu
f1(x, y) Re f x
jy va
f2 (x, y) Im f x jy
funksiyalarni kiritsak, z - kompleks ildizning x – haqiqiy qismi va y – mavhum qismi quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishdan hosil bo‘ladi:
f1( x, y) 0;
f
2
(x, y) 0,
(7)
bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida aniqlik bilan bajaraylik.
D sohaga tegishli
X0 ( x0 , y0 )
nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz.
(4) dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:
f1 (x x ) f1 ( y y
) f (x , y )
x 0 y
f f
0 1 0 0
(8)
x
y
2 (x x0 ) 2 ( y y0 ) f2 (x0 , y0 )
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
x x0
x0 ,
y y0
y0
(9)
(8) sistemani
x0 ,
y0
larga nisbatan, masalan, Kramer usuli
yordamida yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz:
x0
1 ,
J
y0
2 ,
J
(10)
bu yerda (8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha:
J 0 , (11)
sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha:
f1(x0 , y0 )
1 0 0
2
2
1 f
( x0
, y0 ) ;
( x0
.
, y0 )
x0 ,
y0
larning topilgan qiymatlarini (9) ga qo‘yib, (8) sistemaning
X1 ( x1, y1 )
birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz:
x1 x0 x0 , y1 y0 y0 . (12)
Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz:
max( x0 , y0 ) , (13)
agar bu shart bajarilsa, u holda
X1 ( x1, y1 )
birinchi yaqinlashishni (8)
sistemaning taqribiy yechimi deb, hisoblashni to‘xtatamiz. Agar (13) shart
bajarilmasa, u holda
x0 x1 ,
y0 y1
deb olib, yangi (8) chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasini tuzamiz. Uni yechib,
X 2 (x2 , y2 )
- ikkinchi
yaqinlashishni topamiz. Topilgan yechimni ga nisbatan (13) bo‘yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda (8) sistemaning taqribiy
yechimi deb
X 2 (x2 , y2 )
ni qabul qilamiz. Agar (13) shart bajarilmasa, u
holda
x1 x2 ,
y1 y2
deb olib,
X 3 (x3 , y3 )
ni topish uchun yangi (8)
sistemani tuzamiz va hokazo. Bu sistemani yechishning blok-sxemasi 2- rasmda tasvirlangan.
misol. Ushbu
f1 x, y x5 y3 xy 1 0
f2 x, y x2 y y 2 0
tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni
X0 (x0 , y0 )
= (2; 2) deb
olib, uning aniq yechimi aniqlang.
Do'stlaringiz bilan baham: |