Министерства высшего и среднего специального

X  (x, y)
= (1; 1) ni Nyuton usuli yordamida

Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi

yaqinlashishlarni
^X_k ^{ (x}_k ^{, y}_k ⁾ , orttirmalarni esa
X_k
 x_k ,
y_k 
deb,

quyidagi jadval shaklida ifodalaylik (1-jadval).

2. 
   rasm. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishning Nyuton usuli blok-sxemasi.
   

Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, iteratsion jarayon juda tez yaqinlashadi

– verguldan keyin ettita raqamgacha aniqlikdagi yechimga sakkista iteratsiyadan keyin erishilgan. Agar berilgan tenglamalar sistemasini
_ 0,032 0,0_

B  

0,0

0,9_

boshlang‘ich yaqinlashish bilan iteratsiya usuli bilan yechsak, u holda taqqoslanayotgan xatolik bilan olingan yechimga 247 ta iteratsiyadan keyin erishiladi.


1-jadval.

k	xk	yk	Xk  X	2 Xk / Xk 1
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562	-
1	1,693548387	0,890322581	0,702167004	0,351
2	1,394511613	0,750180529	0,466957365	0,947
3	1,192344147	0,82284086	0,261498732	1,199
4	1,077447418	0,918968807	0,112089950	1,639
5	1,022252471	0,976124950	0,032637256	2,598
6	1,002942200	0,996839728	4,317853366E-3	4,054
7	1,000065121	0,999930102	9,553233627E-5	5,124
8	1,000000033	0,999999964	4,871185259E-8	5,337
9	1,000000000	1,000000000	1,272646866E-14	5,363

Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga

ega ekanligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
X_k
 C X ²
bog‘lanish

k 1
ildizning yetarlicha yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa yetarlicha katta: C  5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samaradorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan bo‘lsak, u yerda f(x) va f (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o‘lchovli holda esa f_i(x) larni hisoblash uchun n² ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa f_i (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.

2-Misol. Quyidagi
F x, y  2x³  y² 1  0^


Gx, y  xy³  y  4  0 ^
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish

x₀  1,2
y₀  1,7
aniqlangan bo‘lsin. U holda

J x , y
_{ } 6x²

• 
  2 y
  

, demak    ^8,64
 3,40 _

0 0 _y3
3xy² 1
J 1,2; 1,7
4,91
9,40
97,910

12. 
    formulaga ko‘ra
    

_{x  1,2  1}  0,434
^{ 3,40}  1,2  0,0349  1,2349^

¹ 97,91 0,1956


8,64
9,40 ^





 0,434 ^

y₁  1,7 
4,91
0,1956
 1,7  0,0390  1,6610 ^

Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
x₂ 1,2343 y₂ 1,6615
ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko‘rish mumkin (3- rasm):

> plots[implicitplot]({2*x^3- y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},x=- 2..2,y=-3..3); solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3- y-4=0},{x,y}); allvalues(%); evalf(%); { x  1.234274484, y  1.661526467 }
	3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar sistemasidagi funksiyalarning Maple dasturida chizilgan grafiklari.

Takomillashtirilgan Nyuton usuli

Nyuton hisob jarayoni (3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa

_W 1 _x^k  _
ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi.

Agar
_W 1 _{ x}
matritsa izlanayotgan x^ yechimning atrofida uzluksiz

va boshlang‘ich yaqinlashsh
x⁰ izlanayotgan x^ yechimga yetarlicha yaqin

bo‘lsa, u holda taqriban ushbu
_W 1 _x^k  _{  W} 1 _x⁰ _
tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni kamaytirib, quyidagi takomillashtirilgan
Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:

_ ^{k 1} _{ } ^k  _W 1 _x⁰ _{ f } ^k  _,
k  0,1,2, ,
_ ⁰ _{ x}⁰
(14)

Shuni ta’kidlaymizki, (13) va (14) jarayonlar uchun dastlabki

yaqinlashishlar
_x¹
_{va } ¹
o‘zaro mos keladi, ya’ni
_x¹ _{ } ¹ _.

Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 4- rasmda tasvirlangan):

_{1. x}(0)

• 
  boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
  

2. W ^1x⁽⁰⁾  matritsani hisoblaymiz.
3. (14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
4. Agar (13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va
_x(k 1)

 (1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 3-qadamga o‘tiladi.
Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo‘l bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini qo‘llash murakkablashadi. Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga

almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan,
(k )

x
j
nuqtada chap ayirma

bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi quyidagicha yoziladi:

f f x^(^k^),...,x^(^k^),...,x^(^k^)  x^(^k^),...,x^(^k^)  h,...,x^(^k^)  i  i 1 j n i 1 j n xj h Ana shu yo‘l bilan hisoblangan hosila qiymatlarini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini hisoblashga qo‘llab, iteratsion jarayonlar hisobini osonlashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matritsasi yomon shartlangan bo‘lib qolishi ehtimolligi mavjud. Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matritsasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi. Nyuton-Rafson usuli Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining takomil- lashtirilgan variantlaridan biri hisoblanadi.

4-rasm. Nyuton usuli modifikatsiyasining algoritmi.

Faraz qilaylik, (1) yoki (1) nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan
bo‘lsin. Iteratsion formulani hosil qilishimiz uchun f = ( f₁, f₂, , f_n )

vektor-funksiya komponentalari bo‘lgan
f₁, f₂,
funksiyalarning

Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tartibligacha hosilasini o‘z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz:
_f (k ) _f (k )

1

1

n
f ^(k)  ¹ x^{(k 1)}  ... ¹ x^{(k 1)}  0,
x₁ x_n

(k )

_f (k )


(k 1)
_f (k )


(k 1)

f₂  ² x₁
x₁
 ... ² x_n
x_n
 0,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(k )

_f (k )


(k 1)
_f (k )


(k 1)

f_n  ⁿ x₁
x₁
 ... ⁿ x_n
x_n
 0.

Bu yerda
_f (k ) _{ f}
(x^(k), x^(k), ..., x^(k) ) ;
x^{(k 1)}  x^{(k 1)}  x^{(k )} , (j=1,…n).

^{j j} 1 2 n

Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:

_f (k )
_f (k )
_f (k ) _{ x}(k 1) _{
 f} (k ) _

_ 1
¹ ...
1 _{ } ¹
  ¹ 

_ x₁
x₂
^xn  
  

_f (k )
_f (k )
_f (k )  _x^{(k 1)}   _f ^{(k )} 

 ^2
2 ...
²   ²   ² 

^ x₁
x_2
xn   ^.  ^  ^. 

   _.   _. 

_... ... ... ... ... ... ... ... ..._{ }
  

_f ^{(k )}
_f (k )
_f ^{(k )}   _.   _. 

_ n
ⁿ ...
^{n  }_x(k 1) ^{ } _f (k ) ^

x₁
x₂
^xn ^ ^ ⁿ ^{ } ^{n }

yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib quyidagicha yozish ham mumkin:

_W (k )_x(k 1) _{  f} (k ) _, ^{Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, W = W}  ^x

– Yakob matritsasi.

Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib,
aniqlaymiz:
_x(k 1) _ni

_x(k 1) _{ x}(k ) _{ x}(k 1) _.
Bu usulning algoritmi quyidagicha:

_{1. x}⁰

2. 
   f_i
   

• 
  boshlang‘ich yaqinlashish va  - hisob aniqligi beriladi.
  

  , (i=1,2,…,n) shartning bajarilishi tekshiriladi; agar u

bajarilmasa, u holda 6-qadamga o‘tiladi.

2. 
   W – Yakob matritsasi hisoblanadi.
   
3. 
   W x   f tenglamalar sistemasi yechiladi.
   
4. 
   x  x  x hisoblanadi va 2-qadamga o‘tiladi.
   
5. 
   x natijalar pechatga chiqariladi.
   

Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo‘llanilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin yoki mumkin emasligida. Xususan, W^-1 ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisoblash mumkin. Faraz qilaylik, W^-1 – Yakob matritsasining k-iteratsiyadagi teskari matritsasi bo‘lsin. (k+1)- iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi:

_W 1
 W ^1  W ^1 W
_W 1 _.

k 1 k k k k

Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega. Ammo amaliyotdagi ko‘plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini hisoblashni ancha osonlashtiradi.