Министерства высшего и среднего специального

Yechish. f1(x,y) va f2(x,y) funksiyalarning grafiklarini Maple paketidan foydalanib chizamiz (6-rasm): > plots[implicitplot]({x-cos(y)/3- 0.3=0,y-sin(x-0.6)+1.6=0},x=- 3..3,y=-3..3); Rasmdan ko‘rinib turib- diki, sistemaning yechimi D = { 0  x  0.3;  2.2  y  1.8 } sohada yotibdi. Bu yerda  1 1(x, y)  3 cos y  0.3,  ^2 (x, y)  sin( x  0.6) 1.6

6.rasm. Misolda berilgan f1(x,y) va f1(x,y) funksiyalarning Maple paketidan foydalanib chizilgan grafiklari.

deb tanlab olib, iteratsion jarayon yaqinlashishining yetarli shartini tekshiramiz:

 _{1 }
 cos(x  0.6)
 cos0.3  1,


^ x
^   1 1

 ¹ _
^ y
2 _
y 3
sin y
  1.
3

Bu yaqinlashish shartining bajarilayotganligi D sohadan x⁽⁰⁾ boshlang‘ich yaqinlashish sifatida ixtiyoriy nuqtani tanlash mumkinligini bildiradi.

Agar ikkinchi tenglama
f₂(x, y)  y  0.5sin(x  0.6) 1.6  0
ko‘rinishda

bo‘lsa, u holda yaqinlashish sharti ixtiyoriy (x,y)R² da bajariladi.

2. 
   misol. Quyidagi sistemani qaraymiz:
   

_ f₁ (x, y)  x  cos y  y  0.3  0,

f

 2
^ (x, y)  y  sin( x  0.6)  x 1.6  0.


Yechish. f₁(x,y) va f₂(x,y) funksiyalarning grafiklarini Maple paketidan foydalanib chizamiz (7-rasm):
> plots[implicitplot]({x+cos(y)+y+0.3=0,y-sin(x-0.6)-x+1.6=0},x=-3..3,y=-3..3);

7-rasm. Misolda berilgan f₁(x,y) va f₁(x,y) funksiyalarning Maple paketidan foydalanib chizilgan grafiklari.

Rasmdan ko‘rinadiki, sistemaning yechimi D = { 0.4  x  0.6;

1.1  y  1.3} sohaga tegishli.
Bu yerda

_₁(x, y)  (cos y  y  0.3),



 2
^ (x, y)  sin( x  0.6)  x 1.6


deb tanlab olamiz. Bu yerdan ko‘rinadiki, D sohada


 cos(x  0.6) 1  1 cos0.2  1_.

Ko‘rinib turibdiki, yaqinlashish sharti har ikkala
 _ va
holda



l
ham bajarilmayapdi. Bunday yo‘l bilan tanlangan (x) funksiya uchun boshlang‘ich yaqinlashishni qanday tanlashdan qat’iy nazar iteratsion jarayon uzoqlashadi. Yaqinlashuvchan iteratsion jarayonga erishish uchun izohdagi umumiy holdan foydalanish lozim, bu bilan boshlang‘ich yechimni aniq yechimga yetarlicha yaqin qilib tanlab olish mumkin

bo‘ladi, masalan, x⁽⁰⁾=(0.5;-1,1).
f ^_ x_
matritsaning teskarisini, masalan,

Kramer usulidan foydalanib topish mumkin.

3-Misol. Quyidagi
x³  y³  6x  3  0 ^


x³  y³  6 y  2  0 ^
sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang.
Yechish. Iterasiya usulini qo‘llash uchun berilgan sistemani

ko‘rinishda yozib olamiz.
x³  y³ 1 ^


x  


6 2


x³  y³ 1


y  
^{6 3} 

0  x  1,
0  y  1
kvadrat sohani qaraylik. Agar ^{x0 , y0 }
shu sohaga

qarashli bo‘lsa, u holda
0  ₁x₀ , y₀   1, 0  ₂ x₀ , y_o   1
o‘rinli bo‘ladi.

Demak shu sohadan ^{x0 , y0 } nuqtani ixtiyoriy tanlaganimizda ham ^{xn , yn }

nuqta ham o‘sha sohaga tegishli bo‘ladi. Bundan esa (23) yaqinlashish shartining bajarilishi kelib chiqadi, ya’ni ushbu

₁
x
_ ₁
y
 _x2
2
 ^y 2  ^

1


2 _

₂
x
_ ₂
y
 ^x2  
2

 1 ^
_

o‘rinli bo‘ladi. Demak, qaralayotgan kvadrat sohada yagona yechim mavjud va uni iterasiya usuli yordamida taqribiy hisoblash mumkin.

Dastlabki yaqinlashishni
x  ¹ ,
0 ₂

24. 
     ¹
    

0 ₂
deb olaylik.

1 _ 1 1 _ 1

x  ¹  ^{8 8
1} 2 6
 0,542;
y  ¹  ^{8 8
1} 3 6
 0,333;

x  ¹  ^0,19615  0,533; y  ¹  ^0,1233  0,354;
² 2 6 ² 3 6
Hisoblashlarni shu singari davom ettirib,

x₃  0,533;
y₃  0,351;
x₄  0,532;
y₄  0,351;

bo‘lishini aniqlaymiz.

q₁  q₂
 ³⁴  0,5
72

bo‘lganligidan va uchinchi va

to‘rtinchi taqribiy yechimlarning kasr qismidagi uchta raqamining mos kelishi talab qilingan aniqlikka erishilganligini bildiradi. Taqribiy yechim

sifatida
x  0,532;
y  0,351 ^{qiymatlarni olish mumkin.}

Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi 3 ta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dastur hisobi natijasi va grafiklardan ham ko‘rish mumkin (8-rasm):
> plots[implicitplot]({x^3+y^3-6*x+3=0,x^3-y^3-6*y+2=0},x=-3..3,y=- 3..3);
solve({x^3+y^3-6*x+3=0,x^3-y^3-6*y+2=0},{x,y}); allvalues(%);
evalf(%);
{ y  .3512574476, x  .5323703724 }
{ x  1.882719112, y  1.175129224 }
{ y  -1.489322079, x  -2.423800711 }

8-rasm. Misolda berilgan tenglamalar sistemasidagi funksiyalarning Maple dasturida chizilgan grafiklari.

Yuqoridagi izohni n = 2 bo‘lgan xususiy hol uchun oydinlashtiraylik.
Berilgan ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini quyidagicha yozib olaylik:

_₁(x, y)  x  
f₁(x, y)  
f₂ (x, y),




Bu yerda ^{    } .
₂ (x, y)  y  
f₁(x, y)  
f₂ (x, y).

Bu sistemadagi
 ,  ,
 , 
noma’lim korffisiyentlarni quyidagi

tenglamalar sistemasining taqribiy yechimi deb topamiz:
_{1  } f₁ (x₀ , y₀ ) _{ } f₂ (x₀ , y₀ ) _{ 0,}


^ f (x
x
, y )

f (x

x
, y )

_ ^{1 0 0} _{ } ^{2 0 0} _{ 0,}
^ y y
^ f (x , y ) f (x , y )
_ 1 0 0 _{ } 2 0 0 _{ 0,}





^1  

x
f₁ (x₀ , y₀ ) _{ }
y
x
f₂ (x₀ , y₀ )
y

 0.

Bu tenglamalar sistemasidan, faqatgina unda qatnashayotgan f₁(x,y) va f₂(x,y) funksiyalar xususiy hosilalari (x₀,y₀) nuqta atrofida keskin o‘zgaruvchan bo‘lmasagina, foydalanish mumkin.
Endi buni quyidagi misolda ko‘raylik.

4-misol. Quyidagi tenglamalar sistemasining iteratsiyalanuvchi ₁(x,y) va ₂(x,y) funksiyalarini (x₀,y₀) = (0,80; 0,55) boshlang‘ich nuqtada toping:
_^ f₁(x, y)  x²  y² 1  0,

 2
^ f (x, y)  x³  y.
Yechish. Bu sistema uchun ₁(x,y) va ₂(x,y) funksiyalarni quyidagi ko‘rinishda izlaymiz:
_^₁(x, y)  x   (x²  y² 1)   (x³  y),


^_₂ (x, y)  y   (x²

• 
  y²
  

1)   (x³
 y).

 ,  ,
 , 
noma’lim korffisiyentlarni topish uchun yuqorida taklif

etilgan sistemaga kiruvchi xususiy hosilalar va ularning (x₀,y₀) nuqtadagi qiymatlarini hisoblaylik:

f₁
x
f₂
x
 2x ;

 3x²;

f₁ (x₀ , y₀ ) _{ 1,6;}
x
f₂ (x₀ , y₀ ) _{ 1,92;}
x
f₁
y
f₂
y
 2 y ;

 1;
f₁ (x₀ , y₀ ) _{ 1,1;}

y
f₂ (x₀ , y₀ ) _{ 1;}
y

Bularga ko‘ra
 ,  ,
 , 
noma’lim korffisiyentlarga nisbatan

quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz:
_11,6 1,92  0,

^1,1  

 0,

_1,6 1,92  0,
^_11,1    0.
Buni yechib, quyidagilarga ega bo‘lamiz:

  0,3;
  0,5;
  0,3;
 0,4.

Shunday qilib, ₁(x,y) va ₂(x,y) funksiyalarning quyidagi ifodalariga kelamiz:
_^₁(x, y)  x  0,3(x²  y² 1)  0,3(x³  y),


^_₂ (x, y)  y  0,5(x²

• 
  y²
  

1)  0,4 (x³
 y).

Endi berilgan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish uchun yaqinlashuvchan (22) iteratsiyalar formulasidan yoki quyida keltirilgan Zeydel usuli formulasidan foydalanish mumkin.