Министерства высшего и среднего специального

MUNDARIJA

	Kirish……………………………………………………………....	4
1.	Nyuton usuli.………………………………………………………	4
2.	Takomillashtirilgan Nyuton usuli…………………………………	12
3.	Nyuton-Rafson usuli ……………………………………………..	13
4.	Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli)………………	15
5.	Oddiy iteratsiya usuli ……………………………………………..	17
6.	Zeydel usuli ………………………………………………………	26
7.	Parametrlarni qo‘zg‘atish usuli …………………………………..	27
8.	Pikar iteratsiyalari…………………………………………………	28
9.	Broyden usuli……………………………………………………..	29
10.	Tezkor tushish usuli (Gradiyent usuli)……………………………	32
11.	Nochiziqli tenglamalar sistemasini Maple dasturi yordamida taqribiy yechish……………………………………………………	36
12.	Nochiziqli tenglamalar sistemasini Mathcad dasturi yordamida taqribiy yechish……………………………………………………	49
	Mustaqil ish topshiriqlari………………………………………….	57
	Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati……………………………….	60

Nyuton usuli

Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:

f_{1 } x₁, x₂ , ,
f_{2 } x₁, x₂ , ,
f_{n } x₁, x₂ , ,
x_{n }  0 
^{xn   0}. (1)
x_{n }  0_

Ushbu (1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f _ x_  0 . (1)

bu yerda
x  _ x₁, x₂, ,

24. 
    _^T – argumentlarning vektor ustuni;
    

n
T T
( f₁, f₂, ) – funksiyalarning vektor ustuni; (…) – transponirlash
operatsiyasi belgisi.
Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta nochiziqli tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish juda ko‘p hisoblashlarni talab qiladi yoki uni amaliyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirish mumkin.

(1) tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, (1) vektor tenglamaning

izolyatsiyalangan inchi yaqinlashish
x  _ x₁, x₂,
ildizlaridan bittasi bo‘lgan ushbu k -

1 2
_x^k  _{ x}^{k }_{, x}^{k }_,
topilgan bo‘lsin. U holda (1) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu

1
x  x^{k }   ^{k } , (2)

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda tuzatuvchi had (ildizning xatoligi).
_ ^k  _{ } ^{k }_,

• 
  xatolikni
  

(2) ifodani (1) ga qo‘yib, qyidagi tenglamani hosil qilamiz:
f _x^{k }   ^{k } _  0 _{. (3)}

Faraz qilaylik,
f _ x_

• 
  bu x va
  

_x^k 
larni o‘z ichiga olgan biror qovariq

D sohada uzluksiz differensiallanuvchan funlsiya bo‘lsin. (3) tenglamaning

o‘ng tarafini
_ ^k 

• 
  kichik vektor darajalari bo‘yicha qatorga yoyamiz va
  

bu qatorning chiziqli hadlari bilangina cheklanamiz:

_{f x}^k  _{ } ^k  _{ }
f _x^{k } _
f ^_x^{k } _ ^{k }  0 . (4)

(4) formuladan kelib chiqadiki,
f ^_ x_
hosila deb
x₁, x₂, 

o‘zgaruvchilarga nisbatan
f₁, f₂,

• 
  funksiyalar sistemasining
  

quyidagi Yakob matritsasi tushuniladi:
_ f₁



^x₁
^f₂

f₁

x₂
f₂

f_{1 }

x_n ^
f₂ ^

f ^_ x_  W _ x_  ^_{x x}

x ,

^ 1 2 n ^
 

^f_n
^x₁
f_n
x₂
f_n ^
x_n ^

 
yoki uni qisqacha vektor shaklida yozsak,




f ^_ x_  W _ x_  ^{ fi } _,
x





i, j  1, n .

_ j _

(4) sistema bu xatolikni tuzatuvchi had
(k )


i
_i  1, n_
larga nisbatan

W _ x_
matritsali chiziqli sistema. Bundan (4) formulani quyidagicha yozish

mumkin:
Bu yerdan,


W x^(k) 
f _x^{k } _ W _x^{k } _ ^{k }  0 .
 maxsus bo‘lmagan matritsa deb faraz qilib,

quyidagiga ega bo‘lamiz:

Natijada ushbu
_ ^k  _{ W} 1 _x^k  _{ f x}^k  _.
x^{k 1} _{ x}^k  _W 1 _x^k  _{ f x}^k  _,


k  0,1,2,

(5)

Nyuton usuli formulasiga kelamiz, bunda
_x(0)
 nolinchi yaqinlashish

sifatida izlanayotgan ildizning qo‘pol qiymatini olish mumkin.
Amaliyotda (1) nochiziqli tenglamalar sistemasini bu usul bilan yechish uchun hisoblashlar (5) formula bo‘yicha quyidagi shart bajarilgunga qadar davom ettiriladi:

_x(k 1)

• 
  _x(k )
  


^{ } . (6)

Yuqoridagilardan kelib chiqib, Nyuton usulining algoritmini quyidagicha yozamiz: ^x^(0) boshlang‘ich yaqinlashish aniq- lanadi. Ildizning qiymati (5) formula bo‘yicha aniqlashtiriladi. Agar (6) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va ^x^(^k^^1) (1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda esa 2-qadamga o‘tiladi. Hisoblashlarda (1) nochiziqli tenglamalar ^sistemasining^f ^x ^funksiyalari^va^ularning^hosilalari^matritsasi^W ^x ^aniq^berilgangeymiz, u holda bu sistemani yechishning blok-sxemasi 1-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi.

1-rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining algoritmi

f(x) vektor-funksiya x ildizi atrofida ikki martagacha uzluksiz

differensiallanuvchi va Yakob matritsasi
W _ x_
maxsus bo‘lmagan

(aynimagan), ko‘p o‘lchovli Nyuton usuli kvadratik yaqinlashishga ega:

_x(k 1) _{ x}
 C x^(k)  x 2 _.

Shuni ta’kidlaymizki, usulning yaqinlashishini ta’minlash uchun boshlang‘ich yaqinlashishni muvaffaqiyatli tanlash muhim ahamiyatga ega. Tenglamalar sonining oshishi va ularning murakkabligi ortishi bilan yaqinlashish sohasi torayib boradi.


Xususiy hol. Hisoblash amaliyotida n=2 bo‘lgan hol ko‘p uchraydi. Buni, masalan, f(z)=0 nochiziqli tenglamaning kompleks ildizlarini topishda ham ko‘rish mumkin. Haqiqatan ham, agar ushbu

f₁(x, y)  Re f x 
^jy va
f₂ (x, y)  Im f x  jy

funksiyalarni kiritsak, z - kompleks ildizning x – haqiqiy qismi va y – mavhum qismi quyidagi ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy yechishdan hosil bo‘ladi:
_ f₁(x, y)  0;

f

 2
^ (x, y)  0,
(7)

bu taqribiy hisoblashni Nyuton usuli yordamida ^ aniqlik bilan bajaraylik.

D sohaga tegishli
X₀  (x₀ , y₀ )

• 
  nolinchi yaqinlashishni tanlab olamiz.
  

(4) dan quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tuzib olamiz:

^f1 (x  x )  ^f1 ( y  y
)   f (x , y )

x ⁰ y
f f
0 1 0 0

(8)

x

y
_ ² (x  x₀ )  ² ( y  y₀ )   f₂ (x₀ , y₀ )
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

x  x₀
 x₀ ,
y  y₀
 y₀
(9)

(8) sistemani
x₀ ,
y₀
larga nisbatan, masalan, Kramer usuli

yordamida yechamiz. Kramer formulalarini quyidagicha yozamiz:

x₀
 ^1 ,
J
y₀
 ^2 ,
J
(10)

bu yerda (8) sistemaning asosiy determinanti quyidagicha:
^{J   0} , (11)

8. 
   sistemaning yordamchi determinantlari esa quyidagicha:
   

• 
  f (x , y )
  

  ^
f₁(x₀ , y₀ )
1 0 0

2
 

2
¹  f
(x₀
, y₀ ) ^;

• 
  f₂
  

(x₀
.
, y₀ )

x₀ ,
y₀
larning topilgan qiymatlarini (9) ga qo‘yib, (8) sistemaning

X₁  (x₁, y₁ )

• 
  birinchi yaqinlashishi komponentalarini topamiz:
  

x₁  x₀  x₀ , y₁  y₀  y_{0 . (12)}
Quyidagi shartning bajarilishini tekshiramiz:
max( x₀ , y₀ )   _{, (13)}

agar bu shart bajarilsa, u holda
X₁  (x₁, y₁ )
birinchi yaqinlashishni (8)

sistemaning taqribiy yechimi deb, hisoblashni to‘xtatamiz. Agar (13) shart

bajarilmasa, u holda
x₀  x_{1 ,}
y₀  y₁
deb olib, yangi (8) chiziqli algebraik

tenglamalar sistemasini tuzamiz. Uni yechib,
X ₂  (x₂ , y₂ )
- ikkinchi

yaqinlashishni topamiz. Topilgan yechimni ^ ga nisbatan (13) bo‘yicha tekshiramiz. Agar bu shart bajarilsa, u holda (8) sistemaning taqribiy

yechimi deb
X ₂  (x₂ , y₂ )
ni qabul qilamiz. Agar (13) shart bajarilmasa, u

holda
^{x1  x2} ,
y₁  y₂
deb olib,
X ₃  (x₃ , y₃ )
ni topish uchun yangi (8)

sistemani tuzamiz va hokazo. Bu sistemani yechishning blok-sxemasi 2- rasmda tasvirlangan.

1. 
   misol. Ushbu
   


f₁ x, y  x⁵  y³  xy 1  0^

f₂ x, y  x² y  y  2  0 _

tenglamalar sistemasining nolinchi yaqinlashishni
X₀  (x₀ , y₀ )
= (2; 2) deb

olib, uning aniq yechimi aniqlang.