Министерства высшего и среднего специального

1-misol. Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan:
^_tg(x x 1)  x ²
_ 1 2 2

1

2
^_x ²  0,7x ²  1
Bu tenglamalar sistemasini oddiy iteratsiya usulining Zeydel takomillashgan varianti bilan  = 0.001 va  = 0.0001 aniqliklarda yechish talab qilinadi.
Yechish. Berilgan sistemani standart shaklda yozib olamiz:

_{ f}
(x , x
)  tg(x x
1)  x
²  0

_ 1 1 2 1 2 2

2

1

2

1

2
^_ f (x , x )  x ²  0,7x ² 1 0
Bu funksiyalarning aniqlanish sohalari:
D_f1 = {-∞ < x₁ < ∞; -∞ < x₂ < ∞};
D_f2 = {-1 ≤ x₁ ≤ 1; -1,195 ≤ x₂ ≤ 1,195};
Bu funksiyalarning qiymatlar sohalari:
D_o = {-1 ≤ x₁ ≤ 1; -1,195 ≤ x₂ ≤ 1,195};
Вu funksiyalarning grafiklarini Mathcad dasturida chizamiz (14-rasm):

14-rasm. 1-misolda berilgan tenglamalar sistemasi ildizining boshlang‘ich yaqinlashishini grafik usul bilan Mathcad dasturi yordamida aniqlash.

Grafiklardan ko‘rinadiki, misolda berilgan sistema 4 ta haqiqiy yechimga ega:

D_I = {0 < x₁ < 0,1; -1,3 < x₂ < -1,1};
D_II = {0,7 < x₁ < 0,9; -0,6 < x₂ < -0,8};
D_III = {-0,1 < x₁ < 0; 1,1 < x₂ < 1,3};
D_IV = {-0,9 < x₁ < -0,7; 0,6 < x₂ < 0,8};
Sistemaning barcha yechimlari uchun iteratsion jarayonning yaqinlashish formulasini chiqaramiz.
^x  x  ¹ (x ²  0,7  x ² 1)
 ^{1 1} ₃ ^{1 2}
I-yechim uchun: ^

x

 


^ ₂ tg (x₁  x₂  1)
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

_{2  } x₂
x₁
; ^2  
x₂
x_{1 ;}

Birinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=0,1; х₂=-1,2 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

    


 



 0,59  1;

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan birinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin.

2. 
   yechim uchun:
   

^_x₁ 


_^x₂ ^{ }
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

₁

x₁

 0;
^1   ;
x₂

_{2  } x₂
x₁
; ^2  
x₂
x_{1 ;}

Ikkinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=0,7; х₂=-0,7 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

  0  
 ^{0,7  0,7}  0,61  1;

    


 



 0,94  1;

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan ikkinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin.

^x  x  ¹ (x²  0,7  x² 1)

2. 
   yechim uchun: ^ 1
   

1 ₃ 1 2


^_x₂  tg(x₁  x₂ 1)
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

_{2 }
x₁
x_{2 ;}
_{2 }
x₂
x_{1 ;}

Uchinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=-0,1; х₂=1,2 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

    


 



 0,59  1;

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan uchinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin.

^x  x  ¹ (x²  0,7  x² 1)

2. 
   yechim uchun: ^ 1
   

1 ₃ 1 2


^_x₂  tg(x₁  x₂ 1)
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz:

_{2 }
x₁
x_{2 ;}
_{2 }
x₂
x_{1 ;}

To‘rtinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga yaqin bo‘lgan х₁=-0,7; х₂=0,7 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz:

    


 



 0,94  1;

Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent sistemadan to‘rtinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish

mumkin. Bu sistemalarning MathCAD dasturi yordamidagi yechimlari quyidagilar:

Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, dastur to‘g‘ri ishlayapti va nochiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari to‘g‘ri topilgan. Aniqlikni oshirish bilan iteratsiyalar soni ham oshib boradi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish aniq yechimga yaqinroq olinsa yaqinlashish tezligi ortadi va, tabiiyki, iteratsiyalar soni ham kamayadi.

2-misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini Mathcad dasturi yordamida yeching:
^_x²  y  13,


^x² y  44.
Yechish. Dastur matni quyidagicha:

Mustaqil ish topshiriqlari

Quyidagi jadval variantlari uchun ushbu topshiriqlarni bajaring:

1. 
   Grafik usulda tenglamalar sistemaning ildizlarini ajrating va ildizlar uchun boshlang‘ich yaqinlashishni tanlang.
   
2. 
   Tenglamalar sistemasini yechishni Nyuton usuli bilan 0.0001 aniqlikda bajaring.
   
3. 
   Tenglamalar sistemasini yechishni oddiy iteratsiyalar usuli bilan 0.0001 aniqlik bilan toping, bunda (x) funksiyani tanlashda yaqinlashishning yetarli shartini tekshiring.
   
4. 
   Yechish usullari natijalarini taqqoslan (aniqlik, iteratsiyalar soni).
   
5. 
   Barcha hisoblashlarni matematik paketlar (Maple, Mathcad, Matlab) yordamida aniqlashtiring. Olingan natijalarni Pascal va C++ dasturlari natijalari bilan ham taqqoslash tavsiya etiladi.
   

Variant №	Sistema	Variant №	Sistema
1	sinx  y  1,1x  0,1  x ^2  y ^2  1	26	^tgxy  0,3  x ^2 ^ 2  2 0,5x 2 y
2	sinx  y 1,5x  0,2  x ^2  y ^2  1	27	^tgxy  0,4  x ^2 ^^,6x ^2  2 y ^2  1 0
3	^tgxy  x ^2  ^0,8x ^2  2 y ^2  1	28	sinx  y  xy  1  ^x ^2  y ^2  ^3  4
4	^tgxy  0,2  x ^2  ^x ^2  2 y ^2  1	29	sinx  y 1,5x  0  x ^2  y ^2  1
5	^0,7x^2  2 y ^2  1 ^^xy  x^2 tg	30	^0,6x ^2  2 y ^2  1 ^osy  1  x  0,5 c
6	x  tgxy  0 ^^y ^2  7,5^2 ln x  0 	31	sinx  y  1,6x  0 ^2 2 x  y  1
7	^0,16x  2 y  x ^2 y  0 ^osy  1,1x  0 c	32	cos x  y  1,5  2x  siny  0,5  1
8	sinx  1  y  1,2 ^x  cos y  2 2	33	siny  2  x  1,2 ^y  cosx  2  0,5 
9	sin y  2x  1 ^inx  2  y  1,5 s	34	sinx  y  1,2x  0,1  x ^2  y ^2  1
10	cosy 1 x  0,5 ^y  cos x  3 	35	^tgxy  0,3  x ^2 ^ 2 2 0,9x  2 y  1
11	^tgxy  0,4  x^2 ^^,6x^2  2 y^2  1, x  0, y  0 0	36	sinx  y 1,6x  0  x^2  y ^2  1; x  0, y  0
12	^tgxy  0,1  x^2  ^x^2  2 y ^2  1	37	sinx  y 1,2x  0,2 ^2 2 x  y  1
13	^tgxy  0,3  x^2 ^^,9x^2  2 y^2  1 0	38	sinx  y1,3x  0  x^2  y^2  1
14	^tgxy  x ^2 ^^,8x ^2  2 y ^2  1 0	39	sinx  y 1,5x  0,1 ^2 2 x  y  1

15	^tgxy  x^2 ^^,7x^2  2 y ^2  1 0	40	sinx  y 1,2x  0,1  x ^2  y ^2  1
16	^tgxy  0,2  x ^2 ^^,6x ^2  2 y ^2  1 0	41	sinx  y  1,5x  0,1 ^2 2 x  y  1
17	^tgxy  0,4  x ^2 ^^,8x ^2  2 y ^2  1 0	42	sinx  y  1,2x  0,1  x ^2  y ^2  1
18	^tgxy  0,1  x^2 ^^,5x^2  2 y ^2  1 0	43	sinx  y  1,1x  0,1  x ^2  y ^2  1
19	tgx  y  xy  0  x ^2  2 y ^2  1	44	sinx  y  xy  1  ^x ^2  y ^2  ^3  4
20	^tgxy  0,2  x ^2 ^^x ^2  2 y ^2  1 	45	sinx  y 1,5x  0  x ^2  y ^2  1
21	^tgxy  x ^2 ^^,5x ^2  2 y ^2  1 0	46	sinx  y  1,2x  0,2 ^2 2 x  y  1
22	^tgxy  0,1  x^2 ^ 2 2 0,7x  2 y	47	sinx  y 1,5x  0,2  x ^2  y ^2  1
23	^tgxy  x ^2 ^^,6x ^2  2 y ^2  1 0	48	sinx  y 1,5x  0,2  x ^2  y ^2  1
24	^tgxy  0,3  x ^2 ^ 2 2 0,5x  2 y  1	49	sinx  y  1,1x  0,1  x ^2  y ^2  1
25	 y  sin x 1,6x  0  x  cos1,4 y  0	50	sin1,1x  y  x  1,4  0  ^ y ^2  ^1 0  x

Sinov savollari

1. 
   Nyuton va oddiy iteratsiyalar usullarining qo‘llanilish shartlarini ayting.
   
2. 
   Iteratsion jarayonlarning yaqinlashishi deganda nimani tushunasiz?
   
3. 
   Asosiy hisob formulalarini chiqaring.
   
4. 
   Hisoblashlarni tugatish shartlarini tushuntiring.
   
5. 
   Hisoblash usullarining afzalliklari va kamchiliklarini ko‘rsating.
   
6. 
   Hisoblash usullarining algoritmlarini izohlang.
   

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI

1. 
   Абдухамидов А.У., Худойназаров С. Ҳисоблаш усулларидан амалиёт ва лаборатория машғулотлари. – Тошкент: Ўқитувчи, 1995. – 240 б.
   
2. 
   Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
   
3. 
   Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
   
4. 
   Бахвалов Н. С., Корнев А. А., Чижонков Е. В. Численные методы. Решения задач и упражнения. – М.: Изд-во Дрофа, 2009. – 400 с.
   
5. 
   Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
   
6. 
   Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.
   
7. 
   Воробьева Г.К., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М: Высшая школа, 1990.
   
8. 
   Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple V. Математический пакет для всех. - М.: Мир, 1997.
   
9. 
   Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966.
   
10. 
    Дьяконов В.П. Maple 6: учебный курс. - СПб.: Питер, 2001.
    
11. 
    Жидков В.Н. Вычислительная математика. – М, Академия, 2010.
    

– 208 с.

12. 
    Исраилов М.И. Ҳисоблаш усуллари. 1- ва 2-қисмлар. – Тошкент: Ўқитувчи, 2003, 2008.
    
13. 
    Калиткин Н.Н. Численные методы. – С.Пб.: Изд-во БХВ- Петербург, 2011. – 592 с.
    
14. 
    Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислителная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 2008. – 368 с.
    
15. 
    Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1976.
    
16. 
    Манзон Б.М. Maple V Power Edition. - М.: Филинъ, 1998.
    
17. 
    Internet Saytlari.
    

ABLAKUL ABDIRASHIDOV, SHAXOBIDDIN SAYFIDDINOVICH MAMATOV

NOCHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING SONLI USULLARI BO‘YICHA USLUBIY KO‘RSATMALAR

5130200 – Amaliy matematika va informatika ta’lim yo‘nalishi bakalavr talabalari uchun

Muharrir G.Q.Rahumova
Musahhih G.Q. Rahumova Texnik muharrir M.Ro‘ziboyev

2008 yil 19-iyun 68-buyruq.

2013 yil 29-avgustda noshirlik bo’limiga qabul qilindi.
2014 yil 10-iyulda original maketdan bosishga ruxsat etildi.
Bichimi 60x84/1, 16, «Times New Roman» garniturasi. Ofset qog’ozi. «Risograf» matbaa uskunasida bosildi.
Shartli bosma tabog’i – 3,75. Nashriyot hisob tabog’i – 3,0.
Adadi 25 nusxa. 258-buyurtma.

SamDU bosmaxonasida chop etildi.

140104, Samarqand sh., Universitet xiyoboni, 15