|
1-teorema
. Agar
funktsiya
da uzluksiz bo’lsa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli
integral
mavjud bo’lib,
(2)
bo’ladi.
Aytaylik, (1) sistemadagi
,
funktsiyalar
da uzluksiz bo’lib,
funktsiya
esa uzluksiz
hosilaga ega bo’lsin.
2-teorema.
Agar
funktsiya
da uzluksiz bo’lsa, u holda ikkinchi tur egri chiziqli
integral
mavjud bo’lib,
(4)
bo’ladi.
Aytaylik, (1) sistemadagi
funktsiyalar
da uzluksiz
hosilalarga
ega bo’lsin.
3-teorema.
Agar
va
funktsiyalar
da uzluksiz bo’lsa, u holda egri chiziqli
integral
mavjud bo’lib,
(5)
bo’ladi.
Vektor maydonning divergentsiyasi. Ostragradskiy
teoramasining tadbiqlari.
Vektor maydonning tsirkulyatsiyasi. Solenoidal
maydonlar. Stoqs teoremasi tadbiqlari. Vektor
maydonning rotori. Potentsial maydon. Potentsial
maydonda egri chiziqli integralni hisoblash. Gamilton
(Nabla) operatori. Laplas operatori. Garmonik
maydon.
)
(
t
x
x
]
,
[
)
(
t
x
)
(
t
y
]
,
[
))
(
),
(
(
)),
(
),
(
(
y
x
y
x
t
B
A
))
(
),
(
(
)
,
(
t
y
t
x
y
x
A
B
B
A
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
dx
y
x
f
)
,
(
dt
t
x
t
y
t
x
f
dx
y
x
f
B
A
)
(
))
(
),
(
(
)
,
(
)
(
t
x
)
(
t
y
,
)
(
t
y
)
(
'
t
y
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
dy
y
x
f
)
,
(
dt
t
y
t
y
t
x
f
dy
y
x
f
B
A
)
(
))
(
),
(
(
)
,
(
)
(
),
(
t
y
t
x
,
)
(
'
),
(
'
t
y
t
x
)
,
(
y
x
P
)
,
(
y
x
Q
B
A
B
A
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
)
,
(
dt
t
y
t
y
t
x
Q
t
x
t
y
t
x
P
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
B
A
)]
(
))
(
),
(
(
)
(
))
(
),
(
(
[
)
,
(
)
,
(
Ikkinchi tur egri chiziqli integralning ba’zi tadbiqlari.
Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar
yordamida tekis shakilning yuzi, kuch ta’sirida bo’lgan maydonda bajarilgan ish topiladi va boshqa turli fizik
va mexanik masalalar hal etiladi. Tekislikda biror yuzaga ega bo’lgan
shakl berilgan bo’lib, uning
chegarasi to’g’rilanuvchi yopiq
chiziqdan iborat bo’lsin. Bu shaklning yuzi ushbu
(10)
formulalar yordamida topiladi (qaralsin,93ma’ruza).
Aytaylik, uzunlikka ega bo’lgan
egri chiziq berilgan bo’lib, uning har bir
nuqtasi
ushbu
kuch ta’sirda bo’lsin. U holda
nuqtani
nuqtaga o’tkazishda bajarilgan ish
(11)
bo’ladi.
Grin formulasi.
Tekislikda ushbu
hamda
chiziqlar bilan chegaralangan
to’pamni olaylik, bunda
va
funktsiyalar
da
uzluksiz.
Ravshanki,
ning chegarasi (kontori)
quyidagi I, II, III, IV chiziqlarga ajraladi (bunda
va
chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin).
Aytaylik,
da
funktsiya uzluksiz bo’lib, u uzluksiz
xususiy
hosilaga ega bo’lsin. Ushbu
egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha
yozib olamiz.
va
chiziqlar
o’qiga perpendikulyar bo’lganligi sababli
bo’lib,
bo’ladi.
Endi,
D
D
D
D
D
ydx
xdy
D
ydx
D
xdy
D
2
1
,
B
A
)
,
(
y
x
j
y
x
Q
i
y
x
P
y
x
F
)
,
(
)
,
(
)
,
(
A
B
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
W
B
A
)
,
(
)
,
(
)
(
),
(
2
1
x
y
y
x
y
y
))
(
)
(
,
(
2
1
x
y
x
y
b
x
a
b
x
a
x
,
1
D
)
(
1
x
y
)
(
2
x
y
]
,
[
b
a
1
D
1
D
V
1
1
D
D
D
)
,
(
y
x
P
y
y
x
P
)
,
(
1
,
D
dx
y
x
P
IV
III
II
I
D
dx
y
x
P
dx
y
x
P
dx
y
x
P
dx
y
x
P
dx
y
x
P
,
,
,
,
,
1
V
OX
0
,
,
IV
II
dx
y
x
P
dx
y
x
P
III
I
D
dx
y
x
P
dx
y
x
P
dx
y
x
P
,
,
,
1
bo’lishini e’tiborga olsak, unda
(1)
tenglikka ega bo’lamiz.
Faraz qilaylik, tekislikdagi
to’pam shunday bo’lsinki, uni (vertikal chiziqlar yordamida)
yuqoridagi
kabi
larga ajratish mumkin bo’lsin. (52chizma)
Bunday to’pam uchun ham (1) formula o’rinli bo’ladi:
.
Endi tekislikda ushbu
hamda
chiziqlar bilan chegaralangan
to’pamni olaylik, bunda
,
funktsiyalar
da uzluksiz.
(53chizma)
Ravshanki,
ning chegarasi (kontori)
quyidagi I, II, III, IV chiziqlarga ajraladi (bunda
va
chiziqlar nuqtalarga aylanishi mumkin).
b
a
b
a
III
I
dx
x
y
x
P
dx
x
y
x
P
dx
y
x
P
dx
y
x
P
2
1
,
,
,
,
b
a
y
y
y
y
b
a
dx
y
x
P
dx
y
x
P
y
x
P
2
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
1
2
1
,
,
D
b
a
y
y
y
y
dxdy
y
y
x
P
dx
dy
y
y
x
P
1
1
)
,
(
)
,
(
D
D
dxdy
y
y
x
P
dx
y
x
P
G
1
D
k
G
...)
3
,
2
,
1
(
k
G
n
k
G
n
k
G
G
dxdy
y
y
x
P
dxdy
y
y
x
P
dx
y
x
P
dx
y
x
P
k
k
,
,
,
,
1
1
1
)
(
),
(
2
1
y
x
x
y
x
x
)
(
d
y
c
d
y
c
y
,
2
D
)
(
1
y
x
)
(
2
y
x
]
,
[
d
c
2
D
2
D
V
Faraz qilaylik,
da
funktsiya uzluksiz bo’lib, u uzluksiz
xususiy hosilaga ega bo’lsin. Ushbu
egri chiziqli integralni qaraymiz. Uni quyidagicha
yozib olamiz.
va
chiziqlar
o’qiga perpendikulyar bo’lganligi sababli
bo’lib,
bo’ladi.
Endi
bo’lishini e’tiborga olib topamiz:
.
(2)
Aytaylik, tekilikdagi
to’pam shunday bo’lsaki, uni (gorizontal chiziqlar yordamida) yuqoridagi
kabi
larga ajratish mumkin bo’lsin.
Bunday to’pam uchun ham (2) formula o’rinli bo’ladi:
Faraz qilaylik, tekiclikdagi
to’pam yuqoridagi
va
lar xususiyatiga ega bo’lib, unda
funktsiyalar uzluksiz va uzluksiz
xususiy hosilalarga ega
bo’lsin. U holda
va
funktsiyalar uchun bir yo’la (1) va (2) formulalar o’rinli bo’ladi.
Ularni hadlab qo’shib topamiz:
2
2
2
D
D
D
)
,
(
y
x
Q
x
y
x
Q
)
,
(
2
,
G
dy
y
x
Q
IV
III
II
I
G
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
,
,
,
,
,
2
V
OY
0
,
,
IV
II
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
III
I
G
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
,
,
,
2
d
c
III
I
dy
y
y
x
Q
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
,
,
,
1
d
c
d
c
dy
y
x
Q
y
x
Q
dy
y
y
x
Q
,
,
,
2
1
2
2
2
1
,
,
,
D
d
c
d
c
x
x
x
x
dxdy
x
y
x
Q
dy
dx
x
y
x
Q
dy
y
x
Q
2
2
)
,
(
)
,
(
D
G
dxdy
x
y
x
Q
dy
y
x
Q
F
2
D
k
F
...)
3
,
2
,
1
(
k
G
n
k
F
n
k
F
F
dxdy
x
y
x
Q
dxdy
x
y
x
Q
dy
y
x
Q
dy
y
x
Q
k
k
,
,
,
,
1
1
D
1
D
2
D
)
,
(
),
,
(
y
x
Q
y
x
P
x
y
x
Q
y
y
x
P
)
,
(
,
)
,
(
)
,
(
y
x
P
)
,
(
y
x
Q
. (3)
Bu Grin formulasi deyiladi. Demak, Grin formulasi to’plam bo’yicha olingan ikki karrali integral
bilan shu to’plam chegarasi bo’yicha olingan eg’ri chiziqli integralning bog’lanishini ifodalaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
