|
8.1.
I tur xosmas integrallar.
Berilgan
y=f
(
x
) funksiya [
a
, +∞) cheksiz yarim oraliqda
aniqlangan va ixtiyoriy chekli
b
≥
a
uchun [
a
,
b
] kesmada integrallanuvchi , ya’ni
b
a
dx
x
f
b
F
)
(
)
(
integral mavjud bo‘lsin.
1-TA’RIF:
y=f
(
x
) funksiyaning [
a
, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha
I tur
xosmas integrali
deb yuqori chegarasi o‘zgaruvchi
F
(
b
) integralning
b
→+∞ bo‘lgandagi limitiga aytiladi.
y=f
(
x
) funksiyaning [
a
, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali
a
dx
x
f
)
(
(1)
deb belgilanadi va , ta’rifga asosan,
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
(2)
kabi aniqlanadi.
Geometrik nuqtai nazardan (1) xosmas integral
y=f
(
x
) [
f
(
x
)≥0],
x=a
va
y
=0 chiziqlar bilan
chegaralangan cheksiz shaklning yuzasini ifodalaydi.
2-TA’RIF:
Agar (2) limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda (1) xosmas integral
yaqinlashuvchi
,
aks holda esa
uzoqlashuvchi
deyiladi.
(1) xosmas integralni qarashda ikkita masala paydo bo‘ladi.
I.
(1) xosmas integral yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash;
II.
(1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lgan holda uning qiymatini topish.
Misol sifatida ushbu I tur xosmas integralni qaraymiz:
0
,
a
x
dx
I
a
(3)
Bu integralni uch holda tahlil etamiz.
1)
Dastlab α>1 holni qaraymiz. Bu holda xosmas integral ta’rifi va Nyuton – Leybnits
formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:
1
)
0
(
1
1
)
1
(
lim
1
1
1
lim
lim
1
1
1
1
1
a
a
a
b
x
x
dx
I
b
b
a
b
a
b
b
Demak, bu holda qaralayotgan (3) xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati
a
1–α
/(
α–1) bo‘ladi.
2)
Endi α=1 holni tahlil etamiz:
)
ln
(ln
lim
ln
lim
lim
1
a
b
x
x
dx
I
b
b
a
b
b
a
b
.
Demak, bu holda (3) xosmas integral uzoqlashuvchi.
3)
α<1, ya’ni 1–α>0 holni ko‘rib chiqamiz:
)
(
lim
1
1
1
lim
lim
1
1
1
a
b
x
x
dx
I
b
b
a
b
a
b
b
.
Demak, bu holda ham (3) xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.
Shunday qilib, (3) xosmas integral α>1 holda yaqinlashuvchi, aks holda, ya’ni α≤1
bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, tekislikdagi
0
,
1
,
)
0
,
)
,
[
(
1
y
x
a
a
x
x
y
chiziqlar bilan chegaralangan yarim cheksiz geometrik shakllar α>1 holda qiymati
S
=
a
1–α
/( α–1)
bo‘l gan chekli yuzaga ega (83-rasmga qarang).
Aksincha, α≤1 bo‘lganda esa bu geometrik shakllar cheksiz yuzaga ega bo‘ladi.
Ko‘p hollarda (1) xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo‘lmasdan, uning
yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va, yaqinlashuvchi bo‘lgan holda, qiymatini baholash
yetarlidir. Bunday hollarda quyidagi teoremalardan foydalaniladi.
1-TEOREMA:
Agar
a
≤
x
<∞ cheksiz yarim oraliqda 0≤
f
(
x
)≤
g
(
x
) va
a
dx
x
g
)
(
xosmas integral
yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda
a
dx
x
f
)
(
xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi:
a
a
dx
x
g
dx
x
f
)
(
)
(
2-TEOREMA:
Agar
a
≤
x
<∞ cheksiz yarim oraliqda 0 ≤
g
(
x
) ≤
f
(
x
) va
a
dx
x
g
)
(
xosmas integral
uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda
a
dx
x
f
)
(
xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Bu teoremaning isboti 1-teorema isboti singari amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish
sifatida havola etiladi.
Masalan,
1
3
4
dx
x
x
I
xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham,
x
≥1 bo‘lganda, integral ostidagi funksiya
)
(
1
4
)
(
3
3
x
g
х
х
х
х
х
x
f
shartni qanoatlantiradi va
2)
b
х
х
dx
х
dx
dx
x
g
b
b
b
b
b
2
(
lim
2
lim
lim
)
(
1
1
1
1
.
Bu yerdan, 2-tеorеmaga asosan, berilgan
I
integral uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar xosmas integral ostidagi
f
(
x
) funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul etsa, unda quyidagi
teoremadan foydalanish mumkin.
3-TEOREMA:
Agar
x
≥
a
bo‘lganda |
f
(
x
)|≤
g
(
x
) va
a
dx
x
g
)
(
xosmas integral yaqinlashuvchi
bo‘lsa, unda
a
dx
x
f
)
(
xosmas integral ham yaqinlashuvchi va
a
a
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
(4)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Masalan, ixtiyoriy λ haqiqiy soni uchun
)
0
,
1
(
cos
a
dx
x
x
a
(5)
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki
1
cos
)
(
1
cos
1
a
x
dx
dx
x
x
x
g
x
x
x
a
a
.
3-TA’RIF:
Agar
a
dx
x
f
J
)
(
xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda
a
dx
x
f
I
)
(
xosmas integral
absolut yaqinlashuvchi
deyiladi. Agar
I
yaqinlashuvchi,
J
esa uzoqlashuvchi
bo‘lsa, unda
I
xosmas integral
shartli yaqinlashuvchi
deb ataladi.
Masalan, (5) xosmas integral
α
>1 holda absolut yaqinlashuvchi, 0<
α≤
1 holda esa shartli
yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Yuqoridagi (4) tengsizlikdan absolut yaqinlashuvchi xosmas integral yaqinlashuvchi ekanligi
kelib chiqadi.
Agar
y=f
(
x
) funksiya (–∞,
b
] cheksiz yarim oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu soha bo‘yicha I
tur xosmas integrali yuqoridagi (2) tenglikka o‘xshash tarzda quyidagicha aniqlanadi:
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
lim
)
(
. (6)
Bu xosmas integral uchun ham uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi 2-ta’rif
asosida aniqlanadi.
Masalan, har qanday chekli
b
va λ>0 sonlari uchun
b
x
dx
e
I
xosmas integral yaqinlashuvchi,
chunki
b
b
a
b
a
b
a
x
a
b
a
x
a
b
x
e
e
e
e
e
dx
e
dx
e
I
)
0
(
1
)
(
1
lim
1
lim
lim
.
Agar
y=f
(
x
) funksiya cheksiz (–∞,∞) oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu oraliq bo‘yicha I tur
xosmas integrali yuqorida kiritilgan xosmas integrallar orqali
dx
x
f
)
(
c
dx
x
f
)
(
c
dx
x
f
)
(
c
a
a
dx
x
f
)
(
lim
b
c
b
dx
x
f
)
(
lim
(7)
tenglik bilan aniqlanadi. Bunda
c
– ixtiyoriy chekli son, jumladan 0 bo‘lishi mumkin.
4-TA’RIF:
Agar (7) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkala xosmas integral yaqinlashuvchi
bo‘lsa, unda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham
yaqinlashuvchi
deyiladi. Agar o‘ng
tomondagi xosmas integrallardan kamida bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda chap tomondagi
xosmas integral
uzoqlashuvchi
deb ataladi.
Masalan,
b
b
a
a
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
J
0
2
0
2
0
2
0
2
2
1
lim
1
lim
1
1
1
b
b
a
a
x
x
0
0
lim
lim
arctg
arctg
,
ya’ni
J
xosmas integral yaqinlashuvchi ekan. Demak,
y
=1/(1+
x
2
) ,
)
,
(
x
, va
y
=0 chiziqlar
bilan chegaralangan cheksiz geometrik shakl (84-rasmga qarang) chekli va π soniga teng yuzaga
ega bo‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
