0
0
,
1
,
0
0
,
0
)
,
(
y
x
y
x
y
x
f
va
yoki
funksiya uchun
f
(
x
,0)=0 va
f
(0,
y
)=0 bo‘lgani uchun O(0,0) nuqtada uning xususiy
hosilalari mavjud va
0
)
0
,
0
(
,
0
)
0
,
0
(
y
x
f
f
. Ammo O(0,0) nuqtada bu funksiya to‘la orttirmasini (5) ko‘rinishda yozib
bo‘lmaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ∆
x
≠0, ∆
y
≠0 uchun ∆
f=f
(0+∆
x
, 0+∆
y
)–
f
(0,0)=1–0=1, ya’ni ∆
x
→
0,
∆
y
→
0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor emas. Demak, O(0,0) nuqtada bu funksiyaning xususiy hosilalari
mavjud, ammo differensiallanuvchi emas.
5-TA’RIF:
Fazodagi
S
sirtda yotuvchi va uning
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) nuqtasidan o‘tuvchi barcha egri
chiziqlarining shu nuqtadagi barcha urinmalaridan hosil bo‘lgan
P
tekislik
S
sirtning
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
nuqtasidagi
urinma tekisligi
deb ataladi.
3-TEOREMA:
Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning grafigi
S
sirtdan iborat bo‘lsa, bu sirtning biror
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)=
M
0
(
x
0
,
y
0
,
f
(
x
0
,
y
0
)) nuqtasida urinma
P
tekislik mavjud bo‘lishi uchun funksiya shu nuqtada
differensiallanuvchi bo‘lishi zarur va yetarli.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Bunda
df
to‘la differensial
S
sirtning
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) nuqtadagi urinma tekisligi applikatasining orttirmasiga
teng bo‘ladi va bu tasdiq
to‘la differensialning geometrik ma’nosini
ifodalaydi. Bu holda
S
sirtning
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) nuqtasiga o‘tkazilgan
P
urinma tekislik tenglamasi
)
)(
,
(
)
)(
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f
y
x
f
z
y
x
(14)
ko‘rinishda bo‘lishini keltirib chiqarish mumkin.
Masalan,
z
=
f
(
x
,
y
)=
x
2
–
2
xy+y
2
–
x
+2
y
funksiya
bilan aniqlangan
S
sirtning
M
(1,1,1) nuqtasiga
o‘tkazilgan urinma tekislik tenglamasini topamiz. Bunda xususiy hosilalar mavjud, uzluksiz va
2
)
2
2
2
(
)
1
,
1
(
,
1
)
1
2
2
(
)
1
,
1
(
1
1
1
1
x
y
y
x
y
x
y
x
f
y
x
f
,
f
(1,1)=1 bo‘lgani uchun, (14) tenglikka asosan izlangan urinma tekislik tenglamasi
z
–1=–(
x
–1)+2(
y
–1) =>
x
–2
y+z
=0
ekanligini aniqlaymiz.
(5) tenglikdan ko‘rinadiki, agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
M
(
x
,
y
) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, unda u bu
nuqtada uzluksiz bo‘ladi. Haqiqatan ham,
bu holda
0
)
(
lim
lim
0
0
0
0
y
x
y
B
x
A
f
y
x
y
x
va, ta’rifga asosan, funksiya
M
(
x
,
y
) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Ammo teskari tasdiq umuman olganda o‘rinli emas, ya’ni funksiyani biror
M
(
x
,
y
) nuqtada uzluksiz
ekanligidan uni bu nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi kelib chiqmaydi.
Masalan,
f
(
x
,
y
)=|
x
|(
y
+1) funksiyani O(0,0) nuqtada qaraymiz. Bu nuqtada uning to‘la orttirmasini uchun
0
lim
lim
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
f
f
y
x
y
x
tenglik o‘rinli ekanligidan funksiyani uzluksizligi kelib chiqadi. Endi
bu nuqtada funksiyaning
x
bo‘yicha
xususiy orttirmasini qaraymiz:
x
x
f
f
x
f
f
x
)
0
,
(
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
.
Bu yerdan ko‘rinadiki, O(0,0) nuqtada funksiyaning
x
bo‘yicha xususiy hosilasi mavjud emas, chunki ∆
x
→0
bo‘lganda |∆
x
|/∆
x
nisbatning limiti mavjud emas. Demak, O(0,0) nuqtada funksiya uzluksiz, ammo
differensiallanuvchi emas.
Yuqorida isbotlangan 2-teoremadan ushbu natija kelib chiqadi.
NATIJA:
Agar
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning
y
x
f
f
,
xususiy hosilalari
M
(
x
,
y
) nuqta va uning biror atrofida
aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda bu funksiya
M
(
x
,
y
) nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Haqiqatan ham bu shartlarda funksiya
M
(
x
,
y
) nuqtada differensiallanuvchi
va shu sababli uzluksiz
bo‘ladi.
Endi to‘la differensialning tatbig‘iga doir bir masalani qaraymiz. Buning uchun yuqoridagi (12) tenglikda
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning
x
va
y
argument orttirmalari kichik sonlardan iborat deb olamiz. Bu holda bu
tenglikda γ
1
x
+γ
2
y
qo‘shiluvchi ham kichik son bo‘ladi. Shu sababli (12) tenglikda bu qo‘shiluvchini
hisobga olmasak, undan quyidagi taqribiy tengliklar kelib chiqadi:
dy
y
y
x
f
dx
x
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f
df
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
. (15)
Bu formuladan foydalanib,
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning hisoblash uchun “noqulay” bo‘lgan
N
(
x
+
x
,
y
+
y
)
nuqtadagi qiymati uning hisoblash uchun “qulay” bo‘lgan
M
(
x
,
y
) nuqtadagi qiymati yordamida taqriban
topilishi mumkin.
Misol
sifatida
2
2
)
,
(
y
x
y
x
f
funksiyaning
N
(2.98, 4.03) nuqtadagi qiymatini, ya’ni
2
2
03
.
4
98
.
2
ildizni taqribiy qiymatini topamiz. Bunda “qulay” nuqta
M
(3,4) bo‘ladi, chunki unda
funksiyaning qiymati oson hisoblanadi va
f
(3,4)=5 bo‘ladi. Bu holda ∆
x=
2.98–3=–0.02, ∆
y=
4.03–4= 0.03 va
6
.
1
5
8
2
)
4
,
3
(
,
2
.
1
5
6
2
)
4
,
3
(
4
3
2
2
4
3
2
2
y
x
y
y
x
x
y
x
y
f
y
x
x
f
.
Bu natijalarni (15) taqribiy formulaga qo‘yib,
024
.
5
03
.
0
6
.
1
)
02
.
0
(
2
.
1
5
03
.
4
98
.
2
)
03
.
4
,
98
.
2
(
2
2
f
ekanligini topamiz. Bu ildizning uch xona aniqlikdagi qiymati 5.012 ekanligidan olingan taqribiy natijaning
aniqligi haqida tasavvur hosil qilishimiz mumkin.
2.4.
Yuqori tartibli differensiallar.
Endi yuqori tartibli differensiallar tushunchasini kiritamiz.
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya II tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin.
Bu holda
dy
y
y
x
f
dx
x
y
x
f
df
)
,
(
)
,
(
to‘la differensial ikki o‘zgaruvchili funksiya sifatida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shu sababli
df
differensialning
d
(
df
)differensiali haqida so‘z yuritish mumkin .
6-TA’RIF:
Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
df
differensialning
d
(
df
)differensiali
mavjud bo‘lsa, u funksiyaning
Do'stlaringiz bilan baham: 
