Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

2.1.
 
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
Bir o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi ∆
f 
funksiya orttirmasining ∆
x
argument orttirmasiga nisbatining ∆
x
→
0 bo‘lgandagi limiti kabi aniqlanishini 
eslatib o‘tamiz. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun ham hosila tushunchasini shunday tarzda kiritamiz. 
Berilgan z=
f
(
x
,
y
) funksiya biror 
D
sohada aniqlangan va 
M
(
x
,
y
) shu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin. Bu 
nuqtaning 
x
abssissasiga 

x
orttirma berib, 
y
ordinatani o‘zgartirmay qoldiramiz. Bunda hosil bo‘ladigan 
N
(
x
+

x
,
y
) nuqta ham 
D
sohaga tegishli deb hisoblaymiz. Bu holda 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning o‘zgarishi

x
f
=
 f
(
x
+

x 
,
 y
) –
 f
(
x
,
 y
), 
ya’ni 
x
argument bo‘yicha xususiy orttirma orqali ifodalanadi. 
1-TA’RIF:
Agar 
 z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning
х
bo‘yicha

х
 
f
xususiy 
orttirmasining

x
argument orttirmasiga nisbati

x
→0 bo‘lganda chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit 
qiymati funksiyaning 
x bo‘yicha xususiy hosilasi
deb ataladi. 
Bu hosila
x
f
x
z
y
x
f
f
z
x
x
x







,
,
)
,
(
,
,
kabi belgilardan biri bilan belgilanadi. Bunda indeks yoki maxrajdagi 
x
belgi hosila 
x
argument bo‘yicha 
olinayotganligini ifodalaydi. Ta’rifga ko‘ra 
x
y
x
f
y
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x














)
,
(
)
,
(
lim
lim
0
0
. (1) 
Bu yerda 

x
f
xususiy orttirma faqat 
x
hisobiga o‘zgarib, unda 
y
o‘zgarmas bo‘ladi. Shu sababli
x
f

xususiy hosila bir 
x 
o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi singari aniqlanadi. Bundan 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning
 x
bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblashda ikkinchi
y
o‘zgaruvchini
 
o‘zgarmas son kabi qarash kerakligi va 
oldin ko‘rib o‘tilgan hosilalar jadvali hamda differensiallash qoidalaridan foydalanish mumkinligi kelib 
chiqadi. 
Masalan, 










x
x
y
xy
y
x
y
x
f
y
xy
y
x
y
x
f
)
5
sin
3
(
)
,
(
5
sin
3
)
,
(
2
2
2
2













x
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
y
xy
y
x
)
(
)
(
5
)
(
sin
3
)
(
)
5
(
)
sin
3
(
2
2
2
2
y
y
x
5
sin
6

. 
Xuddi shunday tarzda
z
= 
f
(
x,y
) funksiyaning 
y
f
y
z
y
x
f
f
z
y
y
y







,
,
)
,
(
,
,
kabi belgilanadigan
у
bo‘yicha xususiy hosilasi kiritiladi: 
y
y
x
f
y
y
x
f
y
f
y
f
y
y
y














)
,
(
)
,
(
lim
lim
0
0
. (2) 
Yuqoridagi misolda 
x
o‘zgaruvchini o‘zgarmas deb qarab,
 y
bo‘yicha xususiy hosilani hisoblaymiz: 












y
y
y
y
y
y
xy
y
x
y
xy
y
x
y
x
f
)
(
)
5
(
)
sin
3
(
)
5
sin
3
(
)
,
(
2
2
2
2
 
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
y
y
2
5
cos
3
)
(
)
(
5
)
(sin
3
2
2
2









Yana bir misol sifatida 
2
)
,
(
xy
y
x
f
arctg

funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblaymiz: 
,
1
)
(
)
(
1
1
)
4
2
2
2
2
2
2
y
x
y
xy
x
xy
xy
x
x
f











(arctg
4
2
2
2
2
2
1
2
)
(
)
(
1
1
)
y
x
xy
xy
y
xy
xy
y
y
f











(arctg
. 
Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasining gеomеtrik mazmuniga o‘xshash ikki o‘zgaruvchili 
z
=
f
(
x
,
y
) 
funksiyaning xususiy hosilalarining ham gеomеtrik mazmuni mavjud. Yuqorida aytilgandek, bu funksiya 
grafigi biror 
S
sirtni ifodalaydi. Bu sirtga tegishli 
M
0
(
x
0
, 
y
0
) nuqtani qaraymiz. Bu holda 
f
(
x
,
y
0
)=φ(
x
) bir 
o‘zgaruvchili funksiya bu 
S
sirtni
y
=
y
0
tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan biror 
L 
chiziqni ifodalaydi. 

---

Shu sababli 
x
bo‘yicha xususiy hosilaning 
)
,
(
0
0
y
x
f
x

son qiymati 
L
chiziqqa
M
0
(
x
0
, 
y
0
) nuqta o‘tkazilgan 
urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Demak, 

tg


)
,
(
0
0
y
x
f
x
bo‘lib, bunda 
α
burchak
 S 
sirtni 
y
=
y
0
tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan 
L 
chiziqqa 
M
0
(
x
0
, 
y
0
) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning OX koordinata o‘qi bilan hosil etgan burchakni 
ifodalaydi. Xuddi shunday, 
)
,
(
0
0
y
x
f
y

soni
 S 
sirtni 
x
=
x
0
tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan 
G 
chiziqqa 
M
0
(
x
0
, 
y
0
) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Bir o‘zgaruvchili funksiya 
M
0
(
x
0
) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar edi. 
Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning 
M
0
(
x
0
, 
y
0
) nuqtada 
y
x
f
f


,
xususiy hosilalari mavjudligidan uni bu 
nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi. 
Masalan,










0
,
0
,
0
,
)
,
(
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
f
funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli (§1, (7) ga qarang) ekanligini ko‘rgan edik.
Ammo 
f
(
x
,0)≡0 va 
f
(0,
y
)≡0 bo‘lgani uchun bu funksiyaning O(0,0) nuqtada ikkala
xususiy hosilalari mavjud va 
0
)
0
,
0
(


x
f
,
0
)
0
,
0
(


y
f
bo‘ladi. 
Berilgan 
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning
y
f
y
z
x
f
x
z










,
xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. Bu holda ular
х
vа
у
o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘ladi va shuning 
uchun ulardan yana xususiy hosilalar olish mumkin. Agar bu xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, unda 
yy
xx
f
y
f
y
f
y
f
x
f
x
f
x


















2
2
2
2
)
(
,
)
(
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning 
х
vа
у
argumentlari bo‘yicha 
II tartibli xususiy hosilalari
, 
yx
xy
f
x
y
f
y
f
x
f
y
x
f
x
f
y




















2
2
)
(
,
)
(
esa 
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning 
II tartibli aralash hosilalari
deyiladi. Shunday qilib jami 4 ta II tartibli hosilalarga 
ega bo‘lamiz. 
Masalan, 
4
3
5
3
2




y
x
y
x
z
funksiyaning I tartibli xususiy hosilalari 
,
3
3
)
4
3
5
3
(
,
5
6
)
4
3
5
3
(
2
2
2
















x
y
x
y
x
f
xy
y
x
y
x
f
y
y
x
x
bo‘lgani uchun uning II tartibli hosilalari quyidagicha bo‘ladi: 
.
6
)
3
3
(
)
(
,
6
)
5
6
(
)
(
,
0
)
3
3
(
)
(
,
6
)
5
6
(
)
(
2
2
x
x
f
f
x
xy
f
f
x
f
f
y
xy
f
f
x
x
y
yx
y
y
x
xy
y
y
y
yy
x
x
x
xx
































Yana bir misol sifatida yuqorida ko‘rib o‘tilgan 
)
(
)
,
(
2
xy
y
x
f
arctg

funksiyaning II tartibli hosilalarini 
topamiz: 
,
)
1
(
6
2
)
1
2
(
,
)
1
(
2
)
1
(
2
4
2
4
3
4
2
2
2
2
4
2
6
4
2
2
2
2
y
x
y
x
x
y
x
xy
y
y
f
y
x
xy
y
x
y
x
x
f


















.
)
1
(
2
2
)
1
2
(
,
)
1
(
2
2
)
1
(
2
4
2
5
2
4
2
2
2
4
2
5
2
4
2
2
2
y
x
y
x
y
y
x
xy
x
x
y
f
y
x
y
x
y
y
x
y
y
y
x
f




















Bu misollarda II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng, ya’ni 
yx
xy
f
f



ekanligini ko‘ramiz. Ammo bu 
tenglik barcha funksiyalar uchun o‘rinli bo‘lishi shart emas. Masalan, ushbu funksiyani qaraymiz: 











0
,
0
,
0
,
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
f
Bu funksiyani 
x
bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblab, quyidagi natijani olamiz: 

---














0
,
0
,
0
,
)
(
)
4
(
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
f
x
Bu yerda 
x
=0 deb, 
1
)
0
,
0
(
1
)
,
0
(
)
,
0
(











xy
xy
x
f
y
f
y
y
f
natijaga kelamiz. Xuddi shunday tarzda 
1
)
0
,
0
(


yx
f
ekanligini ko‘rish mumkin. Demak, bu funksiya uchun 
O(0,0) nuqtada II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng emas. 
Ammo ma’lum bir shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar uchun yuqoridagi misollarda ko‘rilgan 
aralash hosilalar tengligi o‘rinli bo‘ladi.
1-TEOREMA:
Agar
z
=
f
(
x,y
) funksiya va uning 
yx
xy
y
x
f
f
f
f




,
,
,
hosilalari 
М
(
х
,
у
) nuqta va 
uning biror atrofida aniqlangan, bu nuqtada II tartibli 
yx
xy
f
f


,
aralash hosilalar uzluksiz bo‘lsa, unda 
aralash hosilalar bu nuqtada o‘zaro teng, ya’ni 
yx
xy
f
f



bo‘ladi. 
Bu teorema