Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

(
Veyershtrass teoremasi
): 
Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya yopiq va chegaralangan 
D
sohada
aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, bu 
D
sohada kamida bitta shunday
M
0
(
x
0
, 
y
0
) [
M
1
(
x
1
, 
y
1
)] nuqta topiladiki, 
D
sohaning boshqa hamma 
M
(
x,y
) nuqtalari uchun
)]
,
(
)
,
(
[
),
,
(
)
,
(
1
1
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f


munosabat bajariladi. 
Bu holda 
f
(
x
, 
y
) funksiyaning 
B
y
x
f
A
y
x
f


)
,
(
,
)
,
(
1
1
0
0
qiymatlari mos ravishda uning D
sohadagi 
eng katta va eng kichik qiymati
dеb aytiladi hamda max
f
va min
f
kabi belgilanadi. 
Masalan, 
f
(
x
,
y
)=2(
x
2
+
y
2
)+3 funksiya 
D
={(
x,y
): 
x
2
+
y
2

4} yopiq doirada aniqlangan va uzluksiz. Bu 
funksiya 
D
sohada o‘zining eng katta max
f
qiymatini sohaning 
x
2
+
y
2
=4 chegarasidagi ixtiyoriy 
M
0
(
x
0
, 
y
0
) 
nuqtada qabul etadi va bunda max
f
=2

4+3=11 bo‘ladi. Bu funksiya 
D
sohada o‘zining eng kichik qiymatiga 
x
2
+
y
2
=0 bo‘lganda, ya’ni O(0,0) nuqtada erishadi va min
f
=2

0+3=3 bo‘ladi. 
18-TA’RIF:
Agar 
D
sohada aniqlangan 
z
=
f
(
x
, 
y
) funksiya uchun shunday chekli 
A
(yoki 
B
) soni 
mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy 
M
(
x
,
y
)

D
nuqtada 
f
(
x
, 
y
)≤
A
(yoki 
f
(
x
, 
y
)≥
B
) shart bajarilsa, bu funksiya 
D
sohada 
yuqoridan (yoki quyidan) chegaralangan 
deb ataladi. 
Masalan, 
f
(
x
, 
y
)=5–
x
2
–
y
2
funksiya yuqoridan 
A
=5,
g
(
x
, 
y
)= 
x
2
+
y
2
–2
funksiya esa quyidan 
B
=–2 soni bilan chegaralangan. 
19-TA’RIF:
Agar 
D
sohada aniqlangan 
z
=
f
(
x
, 
y
) funksiya bu sohada ham yuqoridan, ham quyidan 
chegaralangan bo‘lsa, u 
D
sohada 
chegaralangan funksiya 
deb ataladi. 
Masalan, 
2
2
9
)
,
(
y
x
y
x
f



funksiya o‘zining D{
f
}={(
x,y
): 
x
2
+
y
2

9} aniqlanish sohasida 
yuqoridan 
A
=3, quyidan esa 
B=
0 soni bilan chegaralangan. Demak, bu funksiya chegaralangandir. 
Yuqoridagi Veyershtrass teoremasidan bevosita quyidagi teorema kelib chiqadi. 
5-TEOREMA:
Yopiq sohada uzluksiz funksiya shu sohada chegaralangan bo‘ladi. 
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning navbatdagi xossasini ifodalash uchun quyidagi tushunchani kiritamiz. 
20-TA’RIF:
Tekislikdagi 
D
sohaning ixtiyoriy ikkita nuqtasini biror uzluksiz chiziq bilan tutashtirish 
mumkin bo‘lsa, u 
bog‘lamli soha
deyiladi. 
Masalan, aylana bilan chegaralangan soha (ochiq yoki yopiq doira) bog‘lamli soha bo‘ladi. Ammo 
ikkita konsentrik aylana bilan chegaralangan soha (ochiq yoki yopiq holda) bog‘lamli soha emas. 
6-TEOREMA
(Boltsano – Koshi teoremasi):
Agar 
f 
(
x
,
y
) funksiya yopiq va chegaralangan bog‘lamli 
D
sohada uzluksiz bo‘lib, uning ikkita 
M
1
(
x
1
, 
y
1
) va 
M
2
(
x
2
, 
y
2
) nuqtasida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga 
ega bo‘lsa, u holda bu sohaga tegishli kamida bitta 
M
0
(
x
0
, 
y
0
) nuqtada berilgan
f
(
x,y
) funksiya nol qiymatga 
ega bo‘ladi . 
Masalan, 
f
(
x
,
y
)=
x
2
+
y
2

3 funksiya D={(
x,y
): 
x
2
+
y
2

4 } yopiq doirada ham manfiy (misol uchun 
f
(1,1)=–1<0), ham musbat (misol uchun 
f
(1.5,1)=0,25>0) qiymatlarni qabul etadi. Bu funksiya 
D
sohaga 
tegishli bo‘lgan 
x
2
+
y
2
=3 aylanadagi har bir nuqtada nol qiymatni qabul etadi. 
Ko’p o’zgaruvchili funksiya, uniing aniqlanish 
sohasi, limiti va uzluksizligi. Xususiy hosilalar. 
To’la differentsial. Ko’p zgaruvchili murakkab 
funksiyaning hosilasi. Yuqori tartibli xususiy 
hosilalar va to’la differentsiallar. 
 
IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING HOSILA VA DIFFERENSIALLARI 
REJA 

Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. 

Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. 

Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari. 

Yuqori tartibli differensiallar. 
Tayanch iboralar 
* Xususiy hosilalar
 
*
 
Yo‘nalish bo‘yicha hosila *
 
Gradient *
 
Yuqori tartibli xususiy hosilalar *
 
Aralash 
hosilalar * Differensiallanuvchi funksiya * Xususiy differensial *To‘la differensial
 
* Differensialning 
geometrik ma’nosi * Yuqori tartibli differensiallar

---

Bir o‘zgaruvchili funksiya xususiyatlarini o‘rganishda va juda ko‘p masalalarni yechishda funksiyaning 
hosilasi muhim ahamiyatga ega ekanligini ko‘rib o‘tgan edik. Shu sababli bu tushunchani ikki o‘zgaruvchili 
funksiya uchun ham aniqlash masalasi bilan shug‘ullanamiz. Bunda ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun 
kiritiladigan tushunchalar va keltiriladigan tasdiqlar deyarli o‘zgarishsiz ikkidan ortiq o‘zgaruvchili 
funksiyalar uchun ham umumlashtirilishi mumkinligini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.