Microsoft Word 4-китоб ёшлар конф 2017 май

Разделив (5) на массу и перенеся слагаемые через знак равенства, получим: 
2
2
0
x
bx
x






, 
(6) 
где:
2
b
m


, 
b
– коэффициент затухания. 
Решение уравнения (6) для случая малого сопротивления дается в виде: 
1
1
2
1
( cos
sin
)
bt
x
e
c
t
c
t





,
(7) 
здесь
2
2
1
b




– частота затухающих колебаний. Эти колебания 

---

“Таълим, фан ва ишлаб чиқариш интеграциясида интеллектуал салоҳиятли ёшлар 
мамалакат тараққиётининг муҳим омили” конференция материаллари. 
181 
называются 
затухающими
, так как их амплитуда с течением времени 
стремится к 0. 
Аналогично из начальных условий находим: 
c
1
=
x
o
,
0
0
2
1
v
bx
c



Окончательно уравнение (7) принимает вид: 
0
0
0
1
1
1
(
cos
sin
)
bt
v
bx
x
e
x
t
t







(8) 
Периодом затухающих колебаний Т
1
называют время между двумя 
максимальными 
отклонениями 
точки 
от 
положения 
равновесия:
1
2
2
1
2
2
Т
b







. 
Логарифмическим 
декрементом 
затухания
называется 
логарифм 
отношения двух последовательных амплитуд колебания: 
1
1
ln
m
m
A
bT
A




В случае если сопротивление велико (


b
), затухающие колебания 
переходят в 
апериодические колебания 
или 
затухающее движение
, при 
котором точка асимптотически стремится вернуться в положение равновесия: 
2
2
2
2
(
)
(
)
1
2
b
b
t
b
b
t
x
c e
c e


 

 



При 


b
(случай 
критического сопротивления
) также получим 
затухающее движение:
1
2
(
)
bt
x
e
c t
c



Пример.
Материальная точка массы 
m
подвешена к 
пружине с коэффициентом жесткости 
k
. В начальный 
момент времени пружину растянули из положения 
статического равновесия на длину, равную 
х
0
, и точке 
сообщили начальную скорость 
v
0
. Требуется следующие: 
1. При заданных параметрах колебательной системы 
m
и 
k
и начальных условиях 
x
o
, 
v
o
получить уравнение 
гармонических колебаний, построить график зависимости 
смещения 
z
от времени 
t
. Определить период колебаний 
T
аналитически и графически. 
2. С учетом силы сопротивления 
R=μv
рассчитать 
коэффициент затухания 
b
и при тех же параметрах системы 
(
m
, 
k
) и начальных условиях (
x
o
, 
v
o
) получить уравнение затухающих 
колебаний. Построить график зависимости смещения от времени. Определить 
период колебаний 
T
1
и логарифмический декремент затухания η. Величину η 
определить двумя способами: аналитическим η = 
b
·
Т
1
и графическим η = 
ln(A
1
/A
2
) (используя функцию трассировки графика). 
3. В одних координатных осях для трех значений коэффициента затухания 
b
i
построить графики зависимости затухающих колебаний. Изменяя 
максимальное значение коэффициента затухания 
b
2
, определить предельное 
значение 
b
пр
= 
b
2
, при котором затухающие колебания переходят в 

---

“Таълим, фан ва ишлаб чиқариш интеграциясида интеллектуал салоҳиятли ёшлар 
мамалакат тараққиётининг муҳим омили” конференция материаллари. 
182 
апериодические (предельное значение коэффициента затухания 
b
пр 
не должно 
быть более частоты собственных колебаний ω). 
Решение. 
Исходные данные задачи: 
m
= 2,0 кг; 
k
= 0,48 Н/м; 
x
o
= 0,85 м, 
v
o
= 0,96 м/с; μ = 0,28 Нс/м. Текст программы и результаты расчетов [1,2]:
 
1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. – Практикум. – 
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с. 
2. Жилкин В.А. Применение системы Mathcad при решении задач 
прикладной механики. Часть 2. Теоретическая механика. Статика. – Челябинск, 
2001. – 102 с.