Microsoft Word 4-китоб ёшлар конф 2017 май

Методическая разработка к изучению свободного колебательного 
движения материальной точки с помощью математического пакета 
MATHCAD 
Рахимова Х.А., Касимова Ф.У. (ассистенты СамГУ) 
 
Теоретические материалы. Гармоническим колебанием
называется такое 
колебательное движение материальной точки, которое она совершает под 
действием только упругой силы 
F
= - 
kx
, будучи выведенной из положения 
равновесия за счет внешних сил. Здесь 
x
– смещение точки от положения 
равновесия, 
k
– жесткость пружины. Максимальное отклонение точки от 

---

“Таълим, фан ва ишлаб чиқариш интеграциясида интеллектуал салоҳиятли ёшлар 
мамалакат тараққиётининг муҳим омили” конференция материаллари. 
180 
положения равновесия называется 
амплитудой
колебаний [1,2]. 
Дифференциальное уравнение движения точки массой 
m
под действием 
упругой силы имеет вид: 
mx
kx
 

,
(1) 
Разделив (1) на массу и перенеся слагаемые через знак равенства, получим: 
2
0
x
x




, 
(2) 
где введено обозначение 
2
k
m


, ω – круговая частота (или частота 
собственных колебаний); 
Решение уравнения (2) имеет вид: 
1
2
cos
sin
x
c
t
c
t




,
(3) 
Постоянные 
с
1
и 
с
2
находятся из начальных условий: при 
t
= 0 смещение 
x
=
x
o
, скорость 
v
=
v
o
. Откуда имеем: 
с
1
= 
x
o
, 
с
2
= 
v
o
/ ω. 
Окончательно уравнение (3) будет иметь вид: 
0
0
cos
sin
v
x
x
t
t





, 
(4) 
Уравнение (3) можно записать в амплитудном виде: 
sin(
)
x
A
t




, где 
А
– амплитуда колебаний, 
α
– начальная фаза. Постоянные 
А
и 
α
также находятся 
из начальных условий. 
Гармонические колебания, возникнув однажды вследствие начального 
отклонения 
x
o
или начальной скорости 
v
o
, будут продолжаться сколь угодно 
долго без изменения параметров колебания. 
Периодом колебания
Т
называется время одного полного колебания:
2
Т



Свободным колебанием
называется такое колебательное движение 
материальной точки, которое она совершает под действием упругой силы
F
= 
- kx
и силы сопротивления среды 
R
= 
x



, будучи выведенной из 
положения равновесия за счет внешних сил. 
Для этого случая дифференциальное уравнение движения материальной 
точки массой 
m
: 
mx
kx
x

 



,
(5) 
здесь 
k
– коэффициент жесткости пружины, 
μ
– коэффициент 
сопротивления.