27
Как видно, число 748 состоит из трех разрядов
1
: в нулевом разряде стоит
цифра восемь; в первом – четыре; во втором – семь. Справа от числа добавлен
индекс – 10. Он обозначает основание системы счисления, в которой это число
записано. Данный индекс обязателен, если имеется даже намек на то, что число
может быть записано в другой, отличной от десятичной, системе счисления.
Из курса математики третьего (а может быть, и второго) класса мы знаем,
что цифра семь означает сотни, четыре – десятки и восемь – единицы. В ре-
зультате число можно представить в виде суммы цифр, умноженных на опреде-
ленное число. Это число называется
весом разряда
и определяется по формуле:
0
,
i
i
q
p
q
=
где
i
– номер разряда.
Видно, что вес каждого разряда равен
целой степени числа десять, т. е.
основания данной системы счисления.
0
1
2
10
0
1
2
10
8
10
4
10
7
1
8
10
4
100
7
8
4
7
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Обратите внимание. Цифра восемь умножается на основание системы
счисления в степени, равной номеру разряда, в котором располагается эта циф-
ра. То же самое можно сказать и про остальные цифры.
Любое число в позиционной системе счисления с основанием
q
можно
представить в виде суммы произведений цифр и основания системы счисления
в степени, равной разряду этой цифры.
1
1
0
1
1
0
0
,
N
n
n
i
q
n
n
i
i
X
a q
a q
a q
a q
a q
−
−
=
=
+
+
+
+
=
∑
⋯
(2.1)
где
a
i
– цифра, расположенная в разряде
i
;
N
– номер старшего разряда.
Формула (2.1) очень важна при переводе чисел из любой системы счисле-
ния с основанием
q
в десятичную систему счисления.
Для представления данных в компьютерах и других электронных вычис-
лительных устройствах используется двоичная система счисления. Из названия
следует, что ее основание равно двум (
2)
q
=
, следовательно, для записи чисел
используются только две цифры: 0 и 1.
1
Над каждой цифрой стоит номер ее разряда. Сделано это
только для удобства
понимания материала. Однако если Вы только сейчас начинаете знакомиться с системами
счисления, наш совет: во избежание ошибок, проставляйте
номер разряда над каждой
цифрой, «карандашиком».
28
Выбор двоичной системы счисления обусловлен двумя причинами. Пер-
вая причина аппаратная. Создать устройство, которое может находиться в двух
устойчивых состояниях и быстро переключаться из одного состояния в другое,
очень просто и дешево. Вторая причина заключается в том, что на основе дво-
ичной системы счисления очень просто реализовать алгебру логики.
Однако у двоичной системы счисления есть существенный недостаток.
Числа, записанные в этой системе, очень большие, и человеку очень трудно с
ними работать и запоминать
1
. Поэтому находят применение системы счисления
с основанием больше двух. А чтобы переход от данной системы счисления к
двоичной был наиболее прост, ее основание должно являться целой степенью
двойки.
В соответствии с этими соображениями
становится понятно, почему в
компьютерной технике наряду с двоичной системой счисления используется
шестнадцатеричная система счисления. Из названия следует, что основание си-
стемы равно шестнадцати, т. е. в разрядах числа может стоять одно из шестна-
дцати значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
В таблице 2.1 представлены шестнадцать
десятичных чисел и их двоич-
ный и шестнадцатеричный коды.
Таблица 2.1 – Кодирование первых 16-ти десятичных чисел
в двоичной и шестнадцатеричной СС
Do'stlaringiz bilan baham: