Microsoft Word \310\355\364\356\360\354\340\362\350\352\340 I. docx

Позиционная система счисления (ПСС)
– это система 
счисления, в которой значение символа зависит от его положения в 
ряду цифр изображающих число. 
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Позиционные системы счисления называют также 
взвешенными
. Поло-
жение цифры в числе называют 
разрядом
. Все разряды нумеруются справа 
налево, начиная с нуля
1
. 
Основной параметр, характеризующий позиционную систему счисле-
ния, – ее 
основание
. 
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Основание ПСС
 – это количество символов, используемых в 
разрядах для отображения числа. Обозначается буквой q. 
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Название системы счисления определяется ее основанием. Если основа-
ние равно двум, система называется двоичной, трем – троичной, десяти – деся-
тичной и т. д. 
В быту мы используем десятичную систему счисления (основание равно 
десяти). И используем для записи чисел десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Рассмотрим любое десятичное число: 
1
8
10
4
100
7
8
4
7
10
0
1
2
⋅
+
⋅
+
⋅
=
1
Для целых чисел. Для вещественных чисел нулевым считается крайний справа 
разряд в целой части.

---

27 
Как видно, число 748 состоит из трех разрядов
1
: в нулевом разряде стоит 
цифра восемь; в первом – четыре; во втором – семь. Справа от числа добавлен 
индекс – 10. Он обозначает основание системы счисления, в которой это число 
записано. Данный индекс обязателен, если имеется даже намек на то, что число 
может быть записано в другой, отличной от десятичной, системе счисления. 
Из курса математики третьего (а может быть, и второго) класса мы знаем, 
что цифра семь означает сотни, четыре – десятки и восемь – единицы. В ре-
зультате число можно представить в виде суммы цифр, умноженных на опреде-
ленное число. Это число называется 
весом разряда
и определяется по формуле: 
0
,
i
i
q
p
q
=
где 
i
– номер разряда. 
Видно, что вес каждого разряда равен целой степени числа десять, т. е. 
основания данной системы счисления. 
0
1
2
10
0
1
2
10
8
10
4
10
7
1
8
10
4
100
7
8
4
7
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Обратите внимание. Цифра восемь умножается на основание системы 
счисления в степени, равной номеру разряда, в котором располагается эта циф-
ра. То же самое можно сказать и про остальные цифры. 
Любое число в позиционной системе счисления с основанием 
q
можно 
представить в виде суммы произведений цифр и основания системы счисления 
в степени, равной разряду этой цифры. 
1
1
0
1
1
0
0
,
N
n
n
i
q
n
n
i
i
X
a q
a q
a q
a q
a q
−
−
=
=
+
+
+
+
=
∑
⋯
(2.1) 
где 
a
i
– цифра, расположенная в разряде 
i
; 
N
– номер старшего разряда. 
Формула (2.1) очень важна при переводе чисел из любой системы счисле-
ния с основанием 
q
в десятичную систему счисления. 
Для представления данных в компьютерах и других электронных вычис-
лительных устройствах используется двоичная система счисления. Из названия 
следует, что ее основание равно двум (
2)
q
=
, следовательно, для записи чисел 
используются только две цифры: 0 и 1. 
1
Над каждой цифрой стоит номер ее разряда. Сделано это только для удобства 
понимания материала. Однако если Вы только сейчас начинаете знакомиться с системами 
счисления, наш совет: во избежание ошибок, проставляйте номер разряда над каждой 
цифрой, «карандашиком».

---

28 
Выбор двоичной системы счисления обусловлен двумя причинами. Пер-
вая причина аппаратная. Создать устройство, которое может находиться в двух 
устойчивых состояниях и быстро переключаться из одного состояния в другое, 
очень просто и дешево. Вторая причина заключается в том, что на основе дво-
ичной системы счисления очень просто реализовать алгебру логики. 
Однако у двоичной системы счисления есть существенный недостаток. 
Числа, записанные в этой системе, очень большие, и человеку очень трудно с 
ними работать и запоминать
1
. Поэтому находят применение системы счисления 
с основанием больше двух. А чтобы переход от данной системы счисления к 
двоичной был наиболее прост, ее основание должно являться целой степенью 
двойки. 
В соответствии с этими соображениями становится понятно, почему в 
компьютерной технике наряду с двоичной системой счисления используется 
шестнадцатеричная система счисления. Из названия следует, что основание си-
стемы равно шестнадцати, т. е. в разрядах числа может стоять одно из шестна-
дцати значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 
В таблице 2.1 представлены шестнадцать десятичных чисел и их двоич-
ный и шестнадцатеричный коды. 
Таблица 2.1 – Кодирование первых 16-ти десятичных чисел 
в двоичной и шестнадцатеричной СС