|
Ta’rif 2.2'.{^}tayinlangan xaritalar atlasiga ega bo’lgan M ko’pxillik Cr(r = 1,2,., ш) sinfli silliq ko’pxillik deyiladi, agar barcha koordinatalarni almashtirish funksiyalari o’zining aniqlanish sohasidagi barcha nuqtalarida Cr sinfga tegishli bo’lsa.
Biz bundan keyin Сш sinfli ko’pxilliklarni qaraymiz. Agar barcha koordinatalar almashtirish funksiyalari, haqiqiy - analitik funksiyalar bo’lsa, ya’ni bu funksiyalarni har bir nuqtada yaqinlashuvchi Teylor qatoriga yoyish mumkin bo’lsa, bunday ko’pxilliklarga haqiqiy - analitik ko’pxillik deyiladi [1,6].
Ko’pxilliklarni muhim sinfi bu kompleks - anatik ko’pxilliklar hisoblanadi. Bizga 2n o’lchovliM ko’pxillik, {Uj} - xaritalar atlasi va^-: Uj V/ c R2n uning koordinatli gomeomorfizmlari berilgan bo’lsin. Endi 2n o’lchovli R2n yevklid fazosini, n o’lchovli kompleks Cn chiziqli fazo bilan ayniylashtiramiz, ya’ni (z1,z2, ...,zn) nuqtaning kompleks koordinatalari (x1,x2, .,xn,y1,y2, .,yn) - 2n ta haqiqiy koordinatalari bilan zk = xk + iyk tenglik bilan almashtiriladi.U holda Uj xaritadagi 2n ta xj(P'),...,xf(P'),yj(P'),...,y^(P) koordinatli funksiyalar n ta z*(P) — x*(P) + 1у*(Р) kompleks o’zgaruvchili funksiyalar bilan almashadi.zJl(P)funksiyalarni{^7-} xaritadagi nuqtalarning kompleks deb ataymiz. Bizga ma’lumki ikkita xaratalar kesishmasi Uj A Ut da bir koordinatadan ikkinchi koordinatalar sistemasiga o’tish funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega.
ri — r1(r1 yn v1 yjn)
Xj — Xj (Xi , — ,Xi ,yi , —, yt )
У) — У) (Xi > — >xi >У[ > — >У[ )
tenglikdagi funksiyalani n ta erkli o’zgaruvchili kompleks qiymatli funksiyalar sifatida ifodalash mumkin.
z/ — z/(zl1, —,Z?)
(2.5)
z?)
dagi funksiyalarni kompleks koordinatalarni almashtirish funksiyalari yoki o’tish funksiyasi deb ataymiz.
Tayinlangan {Uj} xaritalar atlasiga va (z'-, zj, —, zf) kompleks lokal koordinatalar sistemasiga ega bo’lgan M ko’pxillikga kompleks - analitik ko’pxillik deyiladi, agar (2.5) dagi barcha kompleks koordinatalarni almashtirish funksiyalari kompleks - analitik funksiyalar bo’lsa, boshqaga aytganda (2.5) dagi funksiyalarni o’z aniqlanish sohasining barcha nuqtalari atrofida kompleks o’zgaruvchili yaqinlashuvchi Teylor qatoriga yoyish mumkin bo’lsa.
Endi kompleks-analitik ko’pxillikga doir misol ko’ramiz.
Bizga S2 = {x2 + y2 + z2 = 1} ikki o’lchovli sfera berilgan bo’lsin, unda maxsus yo’l bilan xaritalar atlasini tuzamiz.
Avvalo S2 sferaning R2 tekislikga stereografik proeksiyasini qaraymiz. Buning uchun R radiusli S2 sfera markazini, R2 tekisligidagi (x,y) koordinatalar sistemasining boshi 0 nuqtaga olib kelib ko’yamiz va S2 sferada shimoliy qutb N va janubiy qutb S nuqtalarni belgilaymiz. Faraz qilaylik, P sferaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin (shimoliy qutb N dan farqli), NvaP nuqtalarni tutashtirib, NP kesmani tekislik bilan kesishguncha davom ettirib, uni R2(x,y) tekislik bilan kesishgan nuqtasini Q orqali belgilaymiz. Natijada biz S2 sfera vaR2 tekislik o’rtasida moslik hosil qilamiz bu moslikni ф0 (Vo'.S2 R2) orqali belgilaymiz.
akslantirishga sferaning tekislikga streografik proeksiyasi deyiladi. Ko’rinib turibdiki, bu ф0 akslantirish sferaning shimoliy qutb N = (0,0,1) dan boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan ya’ni Uo = S2\(N) ochiq to’plam Fo = R2 tekislikga gomeomorf.Bu nuqtani tekisliknig cheksiz uzoqlashgan nuqtasi deyishimiz mumkin.Dekart koordinatalar sistemasida ф0 gomeomorfizm qiyidagi ko’rinishga ega
Vo(x,y,z) = (T—z,T—z).
Shuning uchun Uo xaritada bitta ы0 = kompleks koordinatani kiritamiz. Bundan tashqari sferaning janubiy qutibi S = (0,0, -1)va shu (x,y) koordinatalar sistemasiga steografik proeksiyasini qaraymiz. akslantirishUA = S2\(S)
ochiq to’plamni = R2 tekislikga gomeomorf akslantiradi. Dekart koordinatalarda bu (.pA gomeomorfizim quyidagi
/ x У \
ko’rinishiga ega. Endi UA xaritaga kompleks koordinatani kiritamiz. U
holda Uo A UA kesishmada
x2 + У2 _
w0wl = ~л T = 1
1 — Zz
ni olamiz.
Shunday qilib,
11
w0 = ^o(^i) = —, = ^i(^o) = — (2-6)
funksiyalar kompleks qiymatli funksiyalar hisoblanadi.
Demak S2 sfera kompleks analitik ko’pxillik bo’lar ekan. Har bir UovaU± xaritalar S2 sferani bitta nuqtadan boshqa barcha joyini qoplaydi va ф0, (pA koordinat gomeomorfizmlari yordamida C1 = R2 kompleks tekislikka o’tamiz. Boshqacha aytganda tekislikdagi hamma nuqtalar to’plami bilan S2 sferadagi (P nuqtadan boshqa) nuqtalar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatildi.Shuning uchun S2 sfera kengaytirilgan kompleks tekislik bilan o’zaro ber qiymatli.
Umuman olganda ixtiyoriy silliq ko’pxillik, kompleks analitik bo’lishi shart emas.Agar ko’pxillikning o’lchovi toq bo’lsa u holda prinsipga ko’ra bunday ko’pxillik kompleks analitik ko’pxillik bo’lmaydi.Bundan tashqari juft o’lchovli ko’pxilliklarda kompleks analitik ko’pxilliklar strukturasiga ega bo’lmaganlarga ham bir nechta misollar keltirish mumkin.Masalan, proektiv tekislik kompleks analitik ko’pxillik bo’lmaydi.
§.Silliq akslantirishlar.Diffeomorfizm.
Faraz qilaylik M±vaM2 silliq ko’pxilliklar berilgan bo’lsin. fesaM± ni M2 akslantiruvchi (f:M1 M2) uzliksiz akslantirish bo’lsin. Bizga ma’lumki MA dagi
har bir Po nuqta atrofida f funksiyani quyidagi h vektor-funksiyalar ko’rinishda ifodalash mumkin,
yk = hk(x1,x2, _,xn)
bu yerda (x1,x2, ...,xn)P0 nuqta atrofidagi lokal koordinatalar sistemasi, (y1,y2,—,ym) esa Qo = f(Po) E M2) nuqta atrofidagi lokal koordinatalar sistemasi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
