Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Умножение матриц
Произведение (в дальнейшем, просто ) матрицы на матрицу определяется в предположении, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .
Пусть даны матрица размерности и матрица размерности :
,
или в сокращенной записи
, ,
где .
Определение. Произведением двух матриц и заданных в определенном порядке ( - первая, - вторая), называется следующая матрица , элементы которой определяются по следующему правилу:

где
Таким образом, произведение имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .
Правило умножения матриц. Чтобы получить элемент, стоящий в -й строке и -м столбце произведения двух матриц, нужно элементы -й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы -го столбца второй и полученные произведения сложить.
Пример 4. Умножить матрицу на матрицу , если
, .
Решение
1. Элемент первой строки и первого столбца новой матрицы представляет собой сумму произведений элементов 1-й строки матрицы на элементы 1-го столбца матрицы , а именно:
.
2. Элемент первой строки и второго столбца новой матрицы представляет собой сумму произведений элементов 1-й строки матрицы на элементы 2-го столбца матрицы :
.
3. Элемент первой строки и третьего столбца определяется так:
.
4. Элемент второй строки и первого столбца новой матрицы получается последовательным умножением элементов 2-й строки матрицы на элементы 1-го, 2-го и 3-го столбцов матрицы и суммированием получаемых произведений:
;
;
.
5. Аналогично получаются элементы 3-й строки матрицы :
;
;
.
Итак,
.