Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Упражнение
При помощи элементарных преобразований найти ранги следующих матриц:
; ;
4.4. Применение элементарных преобразований к отысканию обратной матрицы
Легко проверить, что всякое элементарное преобразование квадратной матрицы эквивалентно умножению последней на неособенную ма­трицу специального вида, представляющую собой резуль­тат применения соответствующего элементарного преоб­разования к единичной матрице того же порядка, что и данная матрица . При этом, если преобразование про­изводится над столбцами матрицы , то ее следует ум­ножить справа на матрицу специального вида, а если преобразование производится над строками, то умно­жить слева.
Так, например, перестановка двух столбцов матрицы

эквивалентна умножению этой матрицы справа па мат­рицу, полученную из единичной матрицы того же поряд­ка перестановкой соответствующих столбцов, т.е.
.
Прибавление к третьему столбцу матрицы линей­ной комбинации первых двух столбцов эквивалентно ум­ножению матрицы справа на матрицу вида
.
Заметим, что эта матрица получена из единичной матрицы того же порядка, что и матрица , прибавле­нием к третьему столбцу линейной комбинации первых двух столбцов.
Выполним указанное умножение:
.

Любую неособенную матрицу путем элементарных преобразований только столбцов (или только строк) мо­жно привести к единичной матрице . Если совершен­ные над матрицей элементарные преобразования в том же порядке применить к единичной матрице , то в ре­зультате получится обратная матрица .

Действительно, пусть в результате одинаковых эле­ментарных преобразований, совершенных над столбца­ми матриц и в равенстве
,
матрица превратилась в единичную, а матрица - в некоторую . Указанным преобразованиям отвечает ум­ножение матриц и справа на матрицу , т.е. . Учитывая, что , имеем , т.е. обратная матрица представляет собой преобразован­ную единичную матрицу.
Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами и одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту.
Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида квадратной матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. В случае, когда одновременно надо найти обратную мат­рицу (если она существует), в процессе преобразо­ваний следует использовать только строки или только столбцы.