Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Пример 10. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы
.
Решение:
Поменяем местами первый и второй столбцы:
.
К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму – первый, умноженный на -2:
.
Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего – умноженный на 6 второй:

Прибавим третий столбец к первому и второму:
.
Умножим последний столбец на -1:
.
Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице . Итак,
.
Упражнение.
Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для следующих матриц:
; .

Задание №3


4-тема. РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДАМИ ГАУССА И ГАУССА-ЖОРДАНА
4.1. Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных
Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему.
Определение._Ступенчатой_системой_(или_системой_ступенчатого_вида'>Определение. Ступенчатой системой (или системой ступенчатого вида) называется система линейных уравнений вида
(1)
Коэффициенты называются главными, или веду­щими, элементами системы.
Например, система

имеет ступенчатый вид.
Определение. Если , то система (1) называется треугольной.
Ясно, что в этом случае она будет определенной.
Если же , то система (1) будет неоп­ределенной.
Действительно, рассмотрим базисный минор основной матрицы системы (1), который в нашем случае состоит из первых к основной матрицы системы (1). Выделим в этом миноре произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффициентами при первых неизвестных в одном из уравнений системы (1).
Эти первых неизвестных называют базисными неизвестными рассматриваемой системы уравнений.
Они могут быть выра­жены через остальных неизвестных, называемых «свободными».
Базисные неизвестные оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащее свободные неизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим базисные неизвестные через свободные.