Международный научно-образовательный

ФИО автора: Солижонов Ж.В.
Ферганский государственный университет
Название публикации: «СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТРЕХМЕРНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ»

Известно, что в последнее время интенсивно исследуются спектральные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных разного типа. Научно-исследовательские работы, проведенные по спектральной теории, условно можно разделить на два направления. Первое из них - это доказательство теорем о единственности решения краевых задач для уравнений со спектральным параметром, а второе Ц нахождение собственных значений и собственных функций рассматриваемых краевых задач. Научные исследования по второму направлению в настоящее время интенсивно продолжаются и развиваются. Нахождению собственных значений и собственных функций краевых задач для различных уравнений эллиптических и смешанных типов на плоскости посвящено много исследований, среди которых следует отметить работы [1], [2] и др. Задачи такого типа для трехмерных эллиптических уравнений в областях состоящей из частей шара, также хорошо изучены, например, в работах [3]-[6]. В данном работе исследуем задачи на собственные значения для эллиптических урав- нений с сингулярными коэффициентами в цилиндре.

В трехмерной области Q, ограниченной при z > 0 полусфер ой S = {(x, y, z) : x² + y² + z² = 1} и при z 0 крутом
D = {(x, y) : x² + y² < 1} , рассмотрим уравнение эллиптического типа в виде

u_{xx +} u_{yy +} u_{zz +} (2y/z) u_{z +} Au _— 0_;
где u = u (x, y, z) — неизвестнаяя функция, у, А— числовые параметры, причем 0 < у < 1/2.
(1)

Задача D^. Найти значения параметра А и соответствующие им нетривиальные функции u (x, y, z) 2 C (Q) \
C² (Q), удовлетворяющие уравнению (1) и краевым условиям
^u|_{SUD =} ^{0: (2)}
В области Q введем сферические координаты (r, 0,'), связанные с декартовыми координатами (x, y, z) по формуле
x = r sin 0 cos ', y = r sin 0 sin ', z = r cos 0,
где r = д/x² + y² + z², 0— угол между вектором t (x, y, z) и осью z, a '— угол между вектором t (x, y, 0) x осью x. В координатах (r, 0, ') уравнение (1) принимает вид
Urr + [2 (1 + у) /r] Ur + {[ctg0 - 2ytg0] /r²} ug+
^{+ (1/r2) u}ee ^{+ [1/ (r2 sin2 0)] u’’ + Au = 0. (3)}
Принимая метод разделения переменных u (r, 0,') = R (r) T (0) Ф (') к уравнениям (3) и принимая во внимание условие (2) получим три одномерные краевые задачи на собственные значения:
r²R^0/ (r) + 2(1 + у) rR⁰ (r) + (Ar² — %) R (r) = 0, 0 < r < 1, R (1) = 0, R (0) = 0;
T⁰⁰ (0) + [ctg0 - 2ytg0] T⁰ (0) + (% - д/ sin² 0) T (0) = 0, 0 < 0 < л/2,
|T (0)| < 1, T (л/2) = 0; Ф^0/ (') + дФ (') = 0, 0 < ' < л/2,
Ф (') = Ф (' + 2л),
где ц и %— константы разделения.
^{Исследование этих одномерных задач показало, что собственные значениями задачи D\ являются числа, X}lm
^{= (S}lm^{)2 , l, m 2 N, а соответствующие собственные функции имеют вид}
Ulnlm (x, У, Z) = ClnlmQlm (r, 0) SIH (n') , n,l,m 2 N,
U2nlm (x, У, z) = C2nlmQlm (r, 0) COS (n') , l, m 2 N, П = 0, 1, 2, ...,

где


^{Qlm (r, 0) = r-(1=2+^')J}ai ^{(Slmr) X A}k^{F [l, 1/2 - l + 7; 1 + k; sin2 0],} k=o

Jal (x) — функция Бесселя первого рода [2], F [...] — гипергеометрическая функция Гаусса [7],


⁽-ц^/4) • ... • h^(k - ¹⁾² - д^/4|
Ao = 1, Ak+i = ---------------- ¹ ---------- 1, k =1,2,..., k! (k — 1)!
^al ^{= 2l — 1 — 7, Cj}nlm ^{=0, (j = 1, 2) — произвольные постоянные, r = д/x2 + y2 + z2, ' = arctg (y/x), 0 = arccos (z/r).}
Литература

1. 
   Салахитдинов M.C., Уринов А.К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент. Mumtoz so’z, 2010. -351 с.
   
2. 
   Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева-Бицадзе, ДисЖ . д-ра физ.-мат. наук. М., 1981.
   
3. 
   Каримов К. Т. Спектральные задачи для трехмерных эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами, Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2017, выпуск 2(18), -С.7-19.
   
4. 
   Уринов А.К., Каримов К.Т. Построение собственных функций задачи Дирихле для трехмерного эллиптического уравнения с тремя сингулярными коэффициентами. Республиканская научная конференция с участием зарубежных ученых. Неклассические уравнения математической физики и их приложения. Ташкент. 23-25 октября 201⁴ г. -С 165-166.
   
5. 
   Каримов К.Т. Задача на собственные значения для трехмерного эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами. Материалы третьего международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик. 3-7 декабря. 201⁴ г. -С 87-89.
   
6. 
   Уринов А.К., Каримов К.Т. Об одном методе нахождения общего решения вырожденного уравнения Гойна. Материалы научной конференции "Современные методы математической физики и их приложения". Ташкент. 15-17 апреля 2015 г. -С. 298-300.
   
7. 
   Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1973. -296 с.