Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 50: ABCD – квадрат, E – середина стороны AD, k – точка по диагонали AC, такая, что 
AK:KC = 3:1. Доказать, что угол BKE – прямой. 
Задача 51: Выразить через стороны треугольника длины отрезков между вершинами и 
точками касания вписанной окружности. 
Задача 52: Из точки A вне окружности проведена касательная AD и секущая, пересекающая 
окружность в точках B и C. Доказать, что a) треугольники ABD и ADC подобны b) AB • AC = 
AD². 

---

130 
Задача 53: ABC – произвольный треугольник. Проведена вневписанная окружность, 
касающаяся стороны BC и продолжений сторон AB и AC.B1 – точка касания этой окружности 
и продолжения стороны AB. 
a) Доказать: (p – периметр треугольника). 
b) Доказать, что ). (r – радиус окружности). 
Задача 54: ABCD – выпуклый четырехугольник. E – середина AB,F – середина CD. Точки A1, 
A2, A3, A4 лежат на стороне AD (и перечислены в порядке удаления от A), для ее на 5 равных 
отрезков. Аналогично определяются точки B1, B2, B3, B4 на стороне BC. Доказать, что EF 
делится на 5 равных частей точками пересечения с отрезком AiBi. 
Задача 55: Отрезки AD и BC пересекаются в точке X, причем AX = DX = BD. Y – такая точка 
на отрезке BC, что BX = CY. Доказать, что AC = DY. 
Задача 56: a) Доказать, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. 
b) Доказать, что серединные перпендикуляры сторон пересекаются в одной точке. 
Задача 57: В выпуклом четырехугольнике ABCD угол B – прямой. Диагональ AC является 
биссектрисой угла, и по длине равна стороне AD. X – основание перпендикуляра, опущенного 
из D на AC. Прямая BX пересекает CD в точке Y. Доказать, что Y – середина CD. 
Задача 58: a, b, c – стороны треугольника (сторона c лежит напротив угла C). Доказать, что: 
если 2C = 90 , то c² = a² + b² 
если 2C = 90 , то c² > a² + b² 
если 2C = 90 , то c² < a² + b².