Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 3. Перестановки. Возьмем слово из n различных букв и составим все его анаграммы, 
т. е. будем переставлять буквы всеми возможными способами. На самом деле задача о 
перестановке различных букв является частным случаем задачи о размещении букв без 
повторений, когда число мест совпадает с числом букв. 
На первое место ставим любую из n букв, на второе – любую из (n-1) оставшихся и т. д. 
Последняя оставшаяся буква определяется однозначно. Получаем формулу для числа 
перестановок: P
k
=n(n-1)∙∙∙2∙1=1∙2∙∙∙(n-1)n=n! 
Задача 4. Сочетания. Сколькими способами можно выбрать k букв из алфавита, 
содержащего n букв? 
Сейчас нам не надо выписывать слова, т. е. располагать буквы в определенном порядке, а 
просто выбрать k различных букв. Эту задачу можно считать промежуточной к задаче 
перечисления всех k-буквенных слов с различными буквами. Действительно, чтобы получить 
все k-буквенные слова с различными буквами, можно поступить так: сначала выбрать те k 
букв, которые войдут в слово (пусть это можно будет сделать С
k
способами), а затем 
переставить все эти буквы (это можно сделать k! способами). В итоге мы получим все k-
буквенные слова с разными буквами, число которых B
k
мы уже знаем. Итак, B
k
=C
k 
∙k!, т. е. 
C
k
=
𝐵
𝑘
𝑘!
= 
𝑛(𝑛−1)∙⋯∙(𝑛−𝑘+1)
𝑘!
= 
𝑛∙⋯∙(𝑛−𝑘+1)∙⋯∙1
𝑘!(𝑛−𝑘)!
= 
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
. 
Обычно в записи этих чисел указывают оба индекса n и k и записывают их так: С
𝑛
𝑘
= 
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
. 
Отметим еще раз, чем отличается выборка k предметов от их размещения: при размещении 
мы учитываем их порядок, а при выборке – нет. Выборки часто называют сочетаниями. 
Задача 5. Перестановки с повторениями. Сколькими способами можно составить 
анаграммы из слова, содержащего n букв, но такого, что некоторые его буквы могут 
повторяться?
Пусть всего есть k различных букв, причем первая повторяется n
1
раз, вторая – n
2
раз, k-ая – 
n
k
раз 
( тогда n
1
+n
2
+…+n
k
=n – общее число букв в слове). Подсчитаем общее число n-буквенных 
слов с различными буквами ( это число на известно – n!), сначала взяв все слова с 
указанными повторениями букв (это то число D
k
, которое нам нужно найти), а затем сделав 
одинаковые буквы разными (например, записав их разными шрифтами). Ясно, что при этом 
получим из одного слова n! различных слов. Поступая так со всеми k буквами, получим 
D
k
∙n
1
!∙n
2
!...n
k
!=n!, т. е.
D
k
=
𝑛!
𝑛!∙⋯∙𝑛
𝑘
!
= 
(𝑛
1
+ ⋯+𝑛
𝑘
)!
𝑛
1
!∙⋯∙𝑛
𝑘
!
. 
Решение задач. 
Общее число слов. 
1. В лифте, останавливающемся на семи этажах, едут 10 человек. Каждый из них 
независимо друг от друга может сойти на любом этаже. Сколько способов 
существует? Ответ: 7
10
. 
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательность из 
семи звуков? Ответ: 88
7
. 

---

115 
3. Номер машины состоит из трех букв 26-буквенного алфавита и четырех цифр. 
Сколько существует различных номеров машины (возможен номер ааа0000)? Ответ: 
26
3
∙10
4
. 
4. В алфавите 32 буквы, 10 из которых гласные. Сколько существует пятибуквенных 
«слов», начинающихся с гласной буквы? («Слово» - это любая последовательность 
букв). Ответ: 10∙32
4
. 
5. Сколько можно составить шестибуквенных «слов» из алфавита в 32 буквы таких, что 
никакие две одинаковые буквы не стояли бы рядом? Ответ: 32∙31
5
. 
6. Алфавит состоит из трех букв. Каждое «слово» языка содержит любое число букв, но 
не более четырех. Сколько в этом языке существует фраз, содержащих ровно пять 
(непустых) слов? Ответ: число слов – 120, число фраз – 120
5
. 
7. В алфавите 22 согласные и 10 гласных букв. Сколько существует шестибуквенных 
слов с чередующимися гласными и согласными буквами? Сколько существует 
семибуквенных слов с теми же условиями? Ответ: 2∙22
3
∙10
3
; 22
4
∙10
3
 + 10
4
∙22
3
= 
32∙22
3
∙10
3
. 
8. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5? Ответ: 2∙9∙10
4
. 
9. Сколькими способами можно разложить семь разных монет в три кармана? Ответ: 
3
7
. 
Перестановки. 
1. Флаги многих государств представляют собой полотнища, состоящие из трех 
вертикальных полос различного цвета. Сколько таких трехцветных флагов можно 
составить, имея в распоряжении материал шести цветов? Ответ: 6∙5∙4=120. 
2. На полке нужно поставить три пятитомных собрания сочинений так, чтобы все 
пять томов каждого из собраний сочинений стояли друг за другом, хотя и не 
обязательно в порядке следования номеров томов. Сколькими способами это 
можно сделать? Ответ: 3!∙(5!)
3
=6∙120
3
. 
3. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая 
способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по 
кругу? Ответ: = 19! 
4. Сколькими способами можно расставит на шахматной доске восемь ладей так, 
чтобы они не били друг друга? Ответ: 8! 
Сочетания 
1. Каким числом способов можно выбрать из 30 человек команду из шести человек и 
среди них одного капитана? Ответ: 3 562 650. 
2. В прямоугольном городе 10 улиц, идущих в одном направлении, и 20 улиц, им 
перпендикулярных, которые разбили город на квадратные блоки (заметьте, что число 
блоков в каждом направлении на единицу меньше числа улиц). Каким числом 
способов можно кратчайшим путем пройти из одного угла города на
противоположный?  
3. На уроке опросили пять из 20 учеников класса. Каждый из опрошенных получил одну 
из четырех отметок:2, 3, 4 или 5. Сколько разных записей могло появиться в журнале?
Ответ: 4
15504
. 
4. Сколькими способами можно представить число 100 в виде упорядоченной суммы 
двух положительных слагаемых? Ответ: 99. 
Перестановки с повторениями. 
1. Мама каждый день выдает на десерт по одному фрукту. У нее есть три одинаковых 
яблока, пять одинаковых груш, два одинаковых персика и один апельсин. Сколькими 
способами она может выдать эти фрукты за 11 дней? Ответ: = 27 720. 
2. Каким числом способов можно разложить семь одинаковых монет в три (различных) 
кармана? Ответ: 36. 
3. Каким числом способов можно разложить 10 монет, из которых пять одинаковы, а 
остальные пять различны, в пять карманов? Ответ: 5
5
. 

---

116 
Игры 
1. 
На столе лежат 20 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди, за один 
ход можно взять со стола 1, 2 или 3 монеты. Выигрывает тот, кто забирает со стола 
последнюю монету. Кто выигрывает при правильной игре? 
Ответ. Второй. 
Опишем выигрышную стратегию второго игрока. Если первый своим ходом взял х монет, 
то второй должен взять 4-х монет. Следовательно, после каждого хода второго число 
монет, лежащих на столе, будет делиться на 4. Это означает, что первый не сможет забрать 
со стола последнюю монету, т. е. это сделает второй. 
2. 
Есть две кучки камней, в одной из которых 15 камней, а в другой — 20. Двое играют в 
следующую игру: ходят по очереди, за один ход можно взять любое количество камней, но 
только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при 
правильной игре? 
Ответ. Первый. 
Опишем выигрышную стратегию первого игрока. Первым ходом он берет 5 камней из 
кучки, в которой лежит 20 камней. Таким образом, после его хода в каждой кучке лежит 15 
камней. Каждым следующим ходом первый должен брать столько же камней, сколько и 
второй, но только из другой кучки, т. е. после каждого хода первого в двух кучках лежит 
одинаковое количество камней. Это означает, что у первого всегда есть ход, т. е. второй 
игрок проигрывает. 
3. Двое по очереди ставят ладей на шахматную доску так, чтобы ладьи не били друг 
друга. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ. Второй. 
Заметим, что после каждого хода количество вертикалей и горизонталей, куда можно 
поставить ладью, уменьшается на 1, т. е. игра будет продолжаться ровно 8 ходов и 
последний выигрышный ход сделает второй игрок.