Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Пример 3. На прямой стоят две фишки: слева - красная, справа - синяя. Разрешается 
производить любую" из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между 
фишками или с краю) и удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет 
других фишек). Можно ли с помощью таких' операций оставить на прямой ровно две фишки: 
слева- синюю, а справа- красную?
Решение. Рассмотрим число разноцветных пар (не только соседних), где левая фишка 
красная, и заметим, что чётность этого показателя не меняется. Но в исходной ситуации 
наш показатель равен 1, а в желаемой ситуации - нулю. Поэтому перейти к желаемой 
ситуации невозможно.
Пример 4. На острове Серобуромалин живут хамелеоны: 13 серых, 15 бурых и 17 
малиновых. Если 2 хамелеона разных цветов встречаются, то они оба меняют свой цвет на 
третий. Может ли случиться, что в не который момент все хамелеоны на острове станут 
одного цвета?
Указание. Рассмотрите остатки от деления чисел Б бурых, С серых и М малиновых 
хамелеонов 
на 3 н проверьте, что попарные разности у этих остатков не меняются.
Пример 5. Докажите, что в игре «15» нельзя поменять местами фишки « 15» и «14», 
оставив остальные на месте.
Идея решения. Рассмотрим «пустое поле» как отдельную фишку. Мы можем только 
менять «пустую фишку» с соседними. Поскольку пустая фишка должна попасть в 
исходное поле, число наших операций должно быть чётным. Поэтому, мы можем 
получить конфигурации отличающиеся от начальной только чётным числом перестановок.
Пример 6. На 44 деревьях, расположенных по кругу сидели по весёлому чижу.
Время от времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево - один по часовой 
стрелке, а другой - против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?
Решение. Пронумеруем деревья по кругу с l-го по 44-е. Сумма номеров деревьев, на которых 
сидят чижи либо не меняется, либо уменьшается на 44, либо увеличивается на 44. Тем 
самым, остаток от деления этой суммы номеров на 44 не меняется. Изначально этот остаток 
равен 22, а если все чижи усядутся на одно дерево, то он будет равен нулю. Поэтому чижи 
не смогут собраться на одном дереве.
Задачи
1. Можно ли разрезать выпуклый 17-угольник на 14 треугольников.
2. Можно ли круг разрезать на несколько частей и сложить квадрат? (Разрезы - это прямые 
и дуги окружностей).
3. Болельщик Вася нарисовал расположения игроков на футбольном поле к началу первого 
и второго таймов. Оказалось, что некоторые игроки поменялись местами, а остальные 
остались на своих местах. При этом расстояние между любыми двумя игроками не 
увеличилось. Докажите, что все эти расстояния не изменились.
4. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин правильного п- угольника до 
любой прямой, проходящей через его цент, есть величина постоянная.
5. (Сизифов труд). На горе 1001 ступенька, на некоторых лежат камни, по одному на 
ступеньке. Сизиф берёт любой камень и переносит его вверх на ближайшую свободную 
ступеньку (т.е. если ближайшая ступенька свободна, то на неё, а если она занята, то на 
несколько ступенек вверх до первой свободной). После этого Аид скатывает на одну 
ступеньку вниз один из камней, у которых предыдущая ступенька свободна. Камней 500 и 
первоначально они лежали на нижних, 500
ступеньках. Сизиф и Аид действуют по очереди, начинает Сизиф. Цель Сизифа -

---

113 
положить камень на "верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?
6. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме 
столицы, соединён авиалиниями ровно с 10 городами (если А соединён с В, то В соединён 
с А). Известно, что из любого города можно попасть в любой другой (может быть, с 
пересадками). Докажите, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так 
что возможность попасть из любого города в любой другой сохранится.
7. Во время перемирия за круглым столом разместились рыцари из двух враждующих 
станов. Оказалось, что число рыцарей, справа от которых сидит враг, равно числу 
рыцарей, справа от которых сидит друг. Докажите, что число рыцарей делится на х