Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Упражнение. Докажите, что здесь можно получить все те и только те файлы, где первое 
число меньше второго, а их разность делится на 7.
Глубокий смысл тут в чем: инвариант может зависеть не только от правил, по которым
производятся преобразования, но и от начальных данных. Как здесь: значение разности по 
модулю 7, вообще говоря - не инвариант при производимых преобразованиях. Но при 
конкретных начальных условиях, когда это значение с самого начала равно 0 - тогда оно 
становится инвариантом.
Безусловно, если типичные инварианты (сумма, произведение, разности и их значения по 
какому-то сразу заметному модулю) не подходят, то полезно поставить эксперимент: 
проделать несколько преобразований и поискать некоторые закономерности в том, что при 
этом будет получаться.
Выделение отмеченной части. Нередко помогает инвариант, считаемый как характеристика 
не всего объекта, а только его отдельной части. Придумывается она каждый раз по 
своему. Некая общая логика: эта часть должна быть регулярной по своему устройству и 
содержать все нерегулярности для начального или конечного состояния. Вообще, может 
подойти всякая часть, на которой преобразование общего вида будет выглядеть более 
просто.

---

110 
Задача 9. На доске 3х5 все клетки белые, а один угол черный. За ход можно поменять цвет 
всех клеток в одной строке или столбце. Можно ли все клетки сделать белыми?
Решение: Четность числа черных клеток на всей доске, увы, меняется очень часто, а потому 
нам не поможет. Где бы найти такую часть доски, на которой эта четность неизменна? У нас 
тут в условии нерегулярность в углу - так возьмем 4 угла. При операции перекрашивания 
меняет цвет ровно два угла, либо ни один - т.е. четность числа черных углов - инвариант, Но 
в начале такой угол один, а в конце хочется ноль - нельзя.