Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

Задача 59: С помощью циркуля и линейки разделить отрезок на a) 3 b) 5 равных частей. 
Задача 60: Даны отрезки длины 1, a, b. С помощью циркуля и линейки построить отрезки ab 
и a/b. 
Задача 61: Провести окружность, вписанную в данный угол и проходящую через данную 
точку. 
Задача 62: Выразите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, через 
катеты. 
Задача 63: Выразить высоту треугольника через стороны. 
Задача 64: a) Дана окружность радиуса r и точка x внутри окружности, AB – хорда, 
проходящая через точку x. Доказать, что AX • BX = r² – OX². 
b) Дана окружность радиуса r и точка X вне окружности. AB - хорда, продолжение которой 
проходит через X. Доказать, что AX • BX = OX² – r². 
Задача 65: Доказать, что для выпуклого четырехугольника ABCD следующие условия 
эквивалентны: 
1. B, C, D лежат на окружности с центром A. 
2. Серединные перпендикуляры к BC и CD проходят через A. 
3. AB = CD и ∠ A + 2 ∠ C = 360 . 
Задача 66: В трапеции ABCD (с основанием AD) биссектриссы углов A и B пересекаются в 
точке M, биссектриссы углов C и D – в точке N. Доказать, что MN = AD + BC – AB – CD. 
Задача 67: С помощью циркуля и линейки восстановить параллелограмм ABCD по вершине 
A и серединам сторон BC и CD. 
Задача 68: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O, причем OC = AB. Найти угол 
при вершине C. 
Задача 69: Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника, как на 
диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найти углы треугольника. 
ЛИТЕРАТУРА: 
1. Коннова Е. Г. «Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад». Под редакцией Ф. 
Ф. Лысенко.- Ростов-на-Дону: Легион, 2008.-128с. 
5. Козлова Е. Г.»Сказки и подсказки» (задачи для математического кружка). Издание 2-е, испр. 
и доп. — М.: МЦНМО, 2004. — 165 с. 
6. И.В.Ященко «Приглашение на математический праздник». М., МЦНПО, 2005г. 

---

131 
7. С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов. Старинные занимательные задачи. – М.: 
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985 г. 
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии – М.:Наука, 1986 
Петрушко И.М., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Задачник по математике (с тестами и банком 
задач для межрегиональных олимпиад).—М.: Издательский дом МЭИ, 2009 
Всероссийская олимпиада школьников по математике 1993-2006; Окружной и финальный 
этапы / Под ред. Н.Х.Агаханова – М.:МЦНМО, 2007 
Математика. Всероссийские олимпиады. Вып.3/Н. Х. Агаханов, О, К. Подлипский, И. С. 
Рубанов – М.: Просвещение, 2011. - 207с 
Математика. Районные олимпиады 6-11 классы/Н. Х. Агаханов, О. К. Подлипский -М.: 
Просвещение, 2010. - 192с 
Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные задачи. Под ред. В. О. 
Бугаенко – 4-е изд, стереотип.- М.: МЦНМО, 2008. - 96с 
Математика в кармане «Кенгуру». Международные олимпиады школьников/ М. И. Башмаков 
– 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2011. – 297 с 

---

132