Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

 
 
Текстовые задачи 

---

117 
7. Неравенства 

---

118 

---

119 

---

120 
7.2 Доказательство неравенств 

---

121 

---

122 

---

123 

---

124 

---

125 

---

126 

---

127 
 
 
8. Геометрия 
Задача 1: Доказать, что 
a) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 
b) Если два угла у треугольника равны, то он равнобедренный. 
Задача 2: Доказать, что 
a) В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают. 
b) Если биссектриса совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный. 
c) То же, если медиана и биссектриса совпадает. 
d) То же, если высота совпадает с медианой. 
Задача 3: Доказать, что биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны. 
Задача 4:
a) Найти сумму углов выпуклого n-угольника. 

---

128 
b) Каково максимально возможное количество острых углов в нем? 
Задача 5: Доказать, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. 
Задача 6: Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана с основанием на гипотенузе 
равна половине гипотенузы. 
Задача 7: Найти сумму углов a) пятиугольной звезды; b) семиугольной звезды. 
Задача 8: Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла проходит 
через центр квадрата, построенного на гипотенузе во внешнюю сторону. 
Задача 9: Доказать, что равнобедренная трапеция – вписанный четырехугольник. 
Задача 10: ABCD – квадрат, O – точка внутри него, такая, что ∠ OAD = ∠ ODA = 15 . 
Доказать, что треугольник BOC – равносторонний. 
Задача 11: Две окружности пересекаются в точках A и B. A1 и A2 – точки, диаметрально 
противоположные A на первой и второй окружности. Доказать, что A1, B и A2 лежат на одной 
прямой. 
Задача 12: Доказать, что средняя линия треугольника параллельна основанию и вдвое меньше 
его по длине. 
Задача 13: Доказать, что биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от 
сторон угла. 
Задача 14: Доказать, что углы при основании равнобочной трапеции равны. 
Задача 15: Выразить угол между двумя биссектрисами через углы треугольника. 
Задача 16: Выразить угол между двумя внешними биссектрисами через углы треугольника. 
Задача 17:  ha и hb – высоты треугольника, опущенные на стороны a и b. Известно, что ha ≥ a, 
hb ≥ b. Найти углы треугольника. 
Задача 18: Дана трапеция с основаниями a и b, a ≥ b, 
a) Доказать, что длина средней линии равна . 
b) Доказать, что длина отрезка средней линии между диагоналями равна . 
Задача 19: Дан угол и точка внутри него. Найти точки X и Y на сторонах угла такие, что A – 
середина отрезка XY. 
Задача 20:
a) Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане между ними. 
b) Верен ли такой же признак равенства по двум сторонам и высоте?