Международный научно-образовательный электронный журнал «образование и наука в XXI веке». Выпуск №10 (том 1)

 
( Решение. Пусть елки – «зайцы», а число иголок на елках: 0,1,2,3,…, 
600 000-
 
«клетки». «Клеток» будет 600 001, а «зайцев» - 1000 000. Здесь «зайцев» 
гораздо больше, чем «клеток». Тогда в какой – то «клетке» будет 
находиться не менее 2 «зайцев». Но, если в одной клетке сидят два 

---

105 
«зайца», то число иголок у этих елок 
будет одинаково. 
6.
Задача – шутка. Как одним мешком пшеницы, смолов ее, наполнить 
два таких же мешка? (Решение. В один пустой мешок вложить другой и 
высыпать пшеницу) 
7.
Что это: две головы, две руки, шесть ног, а идут или бегут только 
четыре?
( Решение. Всадник на лошади.) 
8.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположены 5 
точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них, 
меньше 0,5 см. 
(Решение. Сначала надо выбрать что-то за «зайцев». Т.К. в условии задачи 
фигурирует число 5, то пусть 5 точек будут «зайцами». Т.к. «клеток» 
должно быть меньше, и чаще всего на 1, то их должно быть 4. Как 
получить эти 4 «клетки»? Т.к. в условии задачи есть еще два числа: 1 и 0,5, 
причем второе меньше первого в два раза, то можно получить 4 «клетки», 
разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, 
соединяющих середины сторон. Тогда получим 4 равносторонних 
треугольника со сторонами по 0,5 см, которые и будут у нас «клетками». 
Т.к. «зайцев» - 5, клеток» - 4, и 5 больше 4, то найдется «клетка»- 
равносторонний треугольник со стороной 0,5 см, в который попадут не 
менее двух «зайцев» - точек. А т.к. все 4 треугольника равны и расстояние 
между точками в любом треугольнике меньше чем 0,5 см, то доказано, что 
между некоторыми двумя точками из 5 будет меньше чем 0,5 см 
равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см 
2 
4
1 
3 
9.
На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, 
пришли 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не 
пришел ни один гость. 
(Решение. Пусть комнаты – «клетки», а гости – «зайцы». Имеем, 42 
больше 36. Тогда найдется как минимум одна пустая «клетка», т.е в какую 
– то комнату не придет ни одного гостя). 
Имеются два ведра. Одно – вместимостью 4 литра, другое – 9 литров. 
Можно ли набрать из реки ровно 6 литров воды? (Решение. Да). 
4 л 
0 
0 
4 
0 
4 
0 
1 
1 
4 
9 л 
0 
9 
5 
5 
1 
1 
0 
9 
6 
10.Сережа разрезал квадратный именной торт весом 900 г.двумя 
прямолинейными разрезами, параллельными одной паре сторон, и двумя 
разрезами, параллельными другой паре сторон, на 9 прямоугольных 
частей. Докажите, что Петя может выбрать такие три куска торта, не 
имеющие общих сторон, что суммарный вес этих кусков не меньше 300 г. 

---

106 
Решение. Рассмотрим тройки кусков, обозначенные на рис. Одинаковыми 
цифрами. Суммарный вес кусков хотя бы одной тройки не меньше 300 г., в 
противном случае вес торта меньше 300х3=900 г 
11. Натуральные числа 22, 23, 24 обладают тем свойством, 
что в разложении каждого из них на простые множители 
каждый множитель входит в нечетной степени: 
22=2
1
∙11
1
 , 
23=23
1 ,
 24=2
3
∙3
1.
Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел может обладать таким 
свойством? 
Решение. Пример. 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35. Покажем, что восьми подряд идущих чисел с 
указанным свойством быть не может. Действительно, одно из этих чисел делится на 8. Среди 
восьми наших чисел обязательно будет либо число (n-4), либо число (n+4). Оно делится на 4, 
но не делится на8, что противоречит условию, т.к. делитель 2 входит в это число в четной 
степени. 
12. Внутри правильного треугольника со стороной 5 расположены 76 точек . Докажите, что 
можно так выбрать круг радиуса1/
3
, что внутри него окажется не менее 4 из этих точек. 
Решение. Разобьем треугольник на 25 правильных треугольников со стороной 1 так, как показано 
на рис. Тогда, хотя бы в одном из треугольников окажется не менее четырех данных точек, т.к.
3х25< 76. Но такой треугольник можно вписать в круг радиуса 1/
3