Maxsus sohalarda sakrash haqidagi teoremaning bir umumlashmasi

Masalan, y = x³ funksiya ixtiyoriy x nuqtada differensiallanuvchi, chunki Δy = (x + Δx)³ - x³ = 3x²dx + 3x(Δx)² + (Δx)³ = 3x² Δx + α(dx).

y = f (x) funksiyaning x nuqtadagi birinchi tartibli differensiali deb, shu nuqtada funksiya orttirmasi Δy ning dx ga nisbatan bosh chiziqli qismi A(x)dx ga aytiladi va dy yoki df (x) yozuv bilan belgilanadi. Ta`rifga binoan, dy = A(x)dx va Δy = dy + α(dx).

Agar f (x) funksiya x nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksizdir. Funksiyaning nuqtada uzluksizligi uning differensiallanuvchanligining zaruriy sharti hisoblanadi, ammo yetarli emas. Masalan, yuqoridagi misolimizda, y = | x | funksiya x = 0 nuqtada uzluksiz bo`lgani bilan differensiallanuvchi emas.

y = f (x) funksiyaning x nuqtada chekli f (x) hosilasining mavjudligi, f (x) funksiya shu nuqtada differensiallanuvchanligining yetarli shartidir. Ushbu holda, A(x) = f (x) va dy = f (x)dx tengliklar o`rinli.

Masalan, y = x³ funksiyaning ixtiyoriy x є R nuqtadagi differensiali dy =(x³) dx = 3x² dx.

Agar Δy = dy + 0(Δx) tenglikda Δx yetarlicha kichik bo`lsa, taq-ribiy hisoblarda qo`llaniladigan Δy ≈ dy yoki f (x + Δx) ≈ f (x) + f (x)dx formulalarni olamiz.

Masalan, taqribiy hisoblash formulasini qo`llab, ni hisoblash talab etilsin. funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi ko`rinishda yoziladi. Natijada,

.

Agar f (x) funksiya biror-bir (a; b) oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo`lsa, shu oraliqda differensiallanuvchi funksiya deyiladi. Bundan tashqari, agarda f (x) ushbu oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda funksiya oraliqda uzluksiz differensiallanuvchi deb yuritiladi.
2. Hosila va differensialning geometrik va fizik ma`nolari.
y = f (x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda grafigi chizilgan bo`lsin.
y = f (x) funksiya grafigining M₀(x₀; f (x₀) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma deb, M<sub>0</sub>M<sub>1</sub> kesuvchining M<sub>1</sub>(x<sub>0</sub> + Δx; f (x<sub>0</sub> + Δx) ) nuqta grafik bo`ylab M₀(x₀; f (x₀) ) nuqtaga ixtiyoriy ravishda intilgandagi limit holatiga aytiladi (rasmga qarang). M₀M₁ kesuvchining burchak koeffitsienti ga teng bo`lib, uning Δx nolga intilgandagi limiti, bir
tomondan urinma burchak koeffitsienti k = tg α ga teng bo`lsa, ikkinchi tomondan hosila ta`rifiga ko`ra, y = f (x) funksiyaning x₀ nuqtadagi birinchi tartibli hosilasi f (x₀) ga teng: .

Bundan esa, birinchi tartibli hosilaning geometrik ma`nosi kelib chi-qadi. y = f (x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi f (x<sub>0</sub>) hosilasi, funksiya grafigining x<sub>0</sub> abssissali nuqtasiga o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng: f (x₀) = k.

Hosilaning geometrik ma`nosidan foydalanib, y = f (x) funksiya grafigining M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>; f (x<sub>0</sub>) ) nuqtasiga o`tkazilgan urinma va normal teng-lamalari, mos ravishda, quyidagicha yozilishi mumkin:
y – f (x₀) = f (x₀)(x - x₀) va y - f (x₀) = - (x – x₀).
Masalan, funksiya grafigining x₀ = 1 abssissali nuqtasiga o`tkazilgan urinma tenglamasi:
yoki
y = f (x) funksiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi birinchi tartibli differensiali du esa, kattalik jihatdan, funksiya grafigining M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>; f (x<sub>0</sub>) ) nuqtasiga o`t-kazilgan urinmasining x₀ nuqta x₀ + Δx nuqtaga o`tganda mos ordinata orttirmasiga teng Rasmdan, agarda Δx yetarlicha kichik bo`lganda, taq-ribiy tenglik Δy ≈ dy ning o`rinli ekanligini uqish qiyin emas. y = f (x) funksiya x nuqtada chekli f (x) hosilaga ega bo`lsa, uni shu nuqtada erksiz o`zgaruvchi y ning erkli o`zgaruvchi x ga nisbatan o`zgarish tezligi sifatida talqin qilish mumkin. Funksiya orttirmasini uning differensiali bilan almashtirilishi esa, erksiz o`zgaruvchining o`zga-rishini argumentning kichik o`zgarishiga nisbatan chiziqli jarayon sifati-da hisoblash imkonini beradi. Masalan, moddiy nuqtaning to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qonuni S = S(t) funksiya bilan berilgan bo`lsin. U holda, ixtiyoriy t vaqt onidagi v oniy tezlik kattaligi harakat qonuni-dan vaqt bo`yicha olingan birinchi tartibli hosila qiymatiga teng: v(t) = S(t). dS = v(t) · dt differensial esa, moddiy nuqta t va t + dt vaqt onlari oralig`ida t momentdagi oniy v tezligi bilan tekis harakat qilganda bosib o`tishi mumkin bo`lgan masofani aniqlaydi.