Mavzusidagi kurs ishi ilmiy rahbar

II bob. Matematika darslari jarayonida sharqning buyuk allomalari me’rosidan foydalanish.
1-_{ } Kvadrat tenglamani al-Horazmiy usulida yechish.

1. 
   Xorazmiy yozadi: “Kvadrat ildizlarga teng bo’lgan hol, masalan, kvadrat o’zining beshta ildizlariga teng bo’lsa, u vaqtda bu kvadratning ildizi beshga teng bo’ladi, uning kvadrati yigirma beshga yoki beshta ildizga teng bo’ladi”. Ya’ni dan _; birinchi hol uchun berilgan bu qoida yana quyidagi misollar bilan tushuntiriladi:
   

, ,
Bunda noma’lumning kvadratining kvadratini topish ham alohida ta’kidlab o’tiladi.
2. “Kvadratlar songa teng, masalan, “Agar sen aytsangki, kvadrat to’qqizga teng, u vaqtda to’qqiz – kvadrat va uning ildizi uch bo’ladi”, deb yozadi Xorazmiy. Ya’ni , . Bu qoida bilan yana shunday misollar echiladi.

3. “Ildizlar songa teng” tenglamasining echilgan quyidagi misollar bilan tushuntiriladi. Agar ildiz uchga teng bo’lsa, demak, ildiz uch va uning kvadrati to’qqiz bo’ladi. Ya’ni. X=3 (x²=9)
4x=20, x=5 (x²=25)
x=20 (x²=400)
4. “Kvadratlar va ildizlar songa teng”, ya’ni _{ } shaklidagi kvadrat tenglamani masalan,_{ } ni, echish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: “agar sen aytsangki, kvadrat va uning o’nta ildizlari 39 dirhamga teng, u vaqtda buning ma’nosi shuki, agar biror kvadratga uning ildizlarining o’n baravari qo’shilsa, o’tiz to’qqiz hosil bo’ladi”. Uning qoidasi shunday: ildizlar sonini ikkiga bo’l, bu maslada besh bo’ladi, uni o’z-o’ziga ko’paytir, yigirma besh bo’ladi. Buni o’ttiz to’qqizga qo’shsang, oltmish to’rt bo’ladi. Bundan ildiz chiqar, sakkiz bo’ladi va undan ildizlar sonining yarmini, beshni ayir, uch qoladi, mana shu son izlagan kvadratning ildizi bo’ladi, kvadrat esa to’qqiz bo’ladi.
“Agar, - deb yozadi Xorazmiy – kvadrat bitta bo’lmasdan, ikkita, uchta, va umuman ko’p sonda bo’lsa, bitta kvadratga keltirish kerak”. Boshqacha aytganda, noma’lumning yuqori darajasi oldidagi koifistentni birga aylantirish kerak. Buning uchun tenglamaning har ikki tomonini kvadratning koifistentiga bo’lib, hosil bo’lgan tenglamani yuqorida bayon etilgan qoida bo’yicha echish kerak.
Masalan,_{ } tenglamani avval _{ } shakliga,_{ }tenglamani ham avval _{ } shakliga keltirib, so’ngra yuqorida bayon etilgan qoida bo’yicha echish kerak.
Shundan so’ng Xorazmiy _{ } shaklidagi kvadrat tenglamani echish uchun yuqorida berilgan qoidani geometrik usul bilan isbotlaydi.
Kvadrat tenglamalarga keltirilgan masalalar birinchi marta qadimgi Bobilliklar tomonidan echilgan. Bunday tenglamalarning sonli echimlarini aniqlash qoidalari ularga ma’lum edi. Qadimgi yunon matematiklari bunday tenglamalarni “geometrik algebra” yordamida echganlar. Masalan, mashhur yunon geometrigi Evklid (eramizdan avvalgi III asr) o’zining “Negizlar” asarining ikkinchi kitobida kvadrat tenglamalarni kesmalar va yuzlar yordamida geometrik usulda echishni ko’rsatadi. Xorazmiy esa Evklid foydalangan shakllardan emas, balki boshqa shakllardan foydalanib, ikkinchi darajali tenglamalarni echishni o’z geometrik usullari bilan izohlaydi. Masalan, x²+10x=39 yoki umumiy holda x²+bx=c shaklidagi tenglamani echishni quyidagicha tushuntiradi. (buni xozirgi belgilarga asosan bayon etamiz)
1-shaklda ko’rsatilgandek

C
		A X^2 B
		x

(1-shakl)
AB kvadratni olib, uni x² bilan belgilanadi. Bu kvadratning xar bir tomoniga balandligi bo’lgan to’g’ri to’rtburchak yasaladi. Bu shaklning qolgan burchaklarida kvadratlar yasalsa, ularning tomonlari dan bo’lib, hamma kvadratlar yuzlarining yig’indisi ga teng bo’ladi.
Shunday qilib, hosil qilingan katta kvadratning tomoni ga teng, uning yuzi yig’indidan yoki_{ } dan iborat, ya’ni katta kvadratning SE tomoni bo’ladi. Demak, yoki x+5=8, bundan x=3. Noma’lum “x” ni yana bunday ifodalash mumkin: . Bundan yoki . Bundan .
Agar bu formula tenglamaga tatbiq etilsa: yoki bo’ladi.
Xorazmiy _{ }tenglamani yana boshqa bir shakl bilan tushuntiradi: bunda AB kvadrat, ya’ni x² olinadi, balandligi 5 ga teng ikkita to’g’ri to’rtburchak yasaladi. Bu shaklni CE kvadratga to’ldirish uchun tomoni bo’lgan kvadrat olinadi. Katta CE kvadratning yuzi _{ } bo’ladi. Katta kvadrat SE ning tomoni esa _{ } bo’lib, bundan
_{ } bo’ladi. (2-shakl)

C		A X^2 B
	5	x	E

Xorazmiy, kvadrat tenglamalarni e’tiborga olmaydi. Shuni qayd etish kerakki, Xorazmiy asarlarida son tushunchasi, yunon matematiklariga qaraganda ancha keng miqyosda qo’llaniladi, ya’ni uning asarlarida irrastional sonlar tushunchasi ham uchraydi, ammo u manfiy ildizlarni qaramaydi.
Shunday qilib hozirgi belgilashlarga asosan shaklida yoziladigan kvadrat tenglamaning ildizlarini topish formulasi: birinchi marta Xorazmiy asarlarida uchraydi. Bunda u c> bo’lgan holda, masalaning echilishi mumkin emas deb yozadi.
5. “Kvadratlar va son ildizlarga teng”, ya’ni shaklidagi kvadrat tenglamani, masalan, ni echish uchun Xorazmiy shunday yozadi: “agar sen aytsangki, kvadrat va yigirma bir dirham o’nta ildizlarga teng, u vaqtda buning ma’nosi shuki, agar kvadratga yigirma bir dirham qo’shilsa, o’nta ildiz hosil bo’ladi”.
So’ngra quyidagi qoidani bayon etadi: “Ildizlar sonini ikkiga bo’l, 5 chiqadi, uni o’z-o’ziga ko’paytir, 25 bo’ladi, bundan 21 ni ayir, 4 qoladi. Bundan ildiz chiqar, ikki bo’ladi. Buning ildizlar sonining yarmidan, ya’ni beshdan ayir, 3 qoladi. Mana shu sen izlagan kvadratning ildizi bo’ladi.
Agar bu ildizni ildizlar sonining yarmiga qo’shsang, 7 bo’ladi, bu ham sen izlagan kvadrat tenglamaning ildizi bo’ladi, kvadratning o’zi esa 49 bo’ladi.
Hozirgi belgilashlarga asosan bu jumlalar ma’nosini formula bilan ifodalash mumkin. “Qachonki, sen shu holda to’g’ri keladigan misol uchratsang, avval uni echishni qo’shish bilan sinab ko’r va bu ish maqsadga olib kelmasa, u vaqtda ayirish albatta maqsadga olib keladi, chunki bu holda ham qo’shish ham ayirishni tatbiq etish mumkin”. Xorazmiy qo’shish va ayirishni tatbiq etish boshqa hollar uchun, masalan, 4 va 6-shakldagi hollar uchun tatbiq etilmaydi, deb yozadi, chunki u vaqtda manfiy ildiz ham kelib chiqadiki, bu holni Xorazmiy mumkin bo’lmagan hol deb qaraydi.
A E B F A
C

K
H

L
G
M
G E
D F B W D H C
4-shakl 6-shakl.
Xorazmiy, agar tenglamadagi x² oldida koefistient bo’lsa, avval tenglamaning hadlarini u koefistientga bo’lib, so’ngra aytilgan qoida bo’yicha tenglamalarni echish mumkinligini qayd etadi.
Shunday qilib, _{ } umumiy shakldagi tenglamani echish uchun Xorazmiyning qoidasini ko’rinishida ifodalash mumkin.
Xorazmiy shuni ta’kidlaydiki, agar bu holda c bo’lsa, ikkita musbat ildiz hosil bo’lishi mumkin.
Shundan so’ng Xorazmiy, _{ } shaklidagi kvadrat tenglamani echish uchun bergan qoidasini geometrik usulda asoslaydi, biz buni hozirgi belgilashlarga asosan bayon etamiz: yoki _{ } shaklidagi kvadrat tenglama quyidagicha echiladi. (3-shakl)

M E	L 2 3	2 2	K 2 A		C
3 N	G 3	H I	X F	B	X D

Kvadrat AD yasaladi, uning tomoni noma’lum, bu _{ } bo’lsin. Kvadrat yoniga kengligi x ga teng, tomonlari o’zaro parallel shakl yasaladi, bu BE shakl bo’ladi. CE =B (misolda 10) bo’lsin, CD=x bo’lganidan, ACBD yuzi _{ }. Bunda x< bo’lishi kerak. ABEN yuzi =(b-x)x=c bo’ladi. DN ni F nuqtada teng ikkiga bo’lamiz va unga perpendikulyar chiqaramiz. Bu perpendikulyarni miqdoricha davom ettiramiz. Tomoni ( -x), ya’ni (5-x) bo’lgan kvadrat yasaymiz. Bunda yasashga asosan tomonlari mos ravishda teng bo’lganidan ABHF va LGME shakllar o’zaro teng bo’ladi. U vaqtda MKNF yuzi = ABEN yuzi + LKGH yuzi yoki yoki bundan yoki bundan yoki , , yoki

Demak, CD izlangan kvadratning tomoni x bo’lib, bu 3 ga teng bo’ladi.
Yuqoridagi tenglamalarning ikkinchi echimi uchun geometrik shakl arabcha qo’l yozmada keltirilgan. Ammo asarning Robert tomonidan bajarilgan lotincha tarjimasida ikkinchi hol uchun ham geometrik shakl keltirilgan. Buni yasash quyidagicha bajariladi: DN=5 (ildizlar soni, misolda 10) olib, DB=x ajratiladi, bunda x> (x>5) bo’lsin (4-shakl) kesmaning o’rtasi F nuqta olinib, FNMK kvadrat va tomoni FB=x- bo’lgan kvadrat hamda ABNE to’g’ri to’rtburchak yasaladi. ABNE yuzi = (b-x)x=c yoki (10-x)x=21 bo’ladi.
Shakldan: FBGH yuzi = FNMK yuzi-ABNE yuzi yoki , bundan , yoki . Demak, DB tomoni, ya’ni x=7 bo’ladi.
6. “Ildizlar va son kvadratlarga teng”, ya’ni bx+c=ax². bunday kvadrat tenglamani, masalan 3x+4=x² bo’lgan holda echish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: “ Ildizlar sonini ikkiga bo’l, bir yarim bo’ladi, buni o’z-o’ziga ko’paytir, ikki va chorak bo’ladi. Bundan ildiz chiqar, ikki yarim bo’ladi, buni ildizlar sonining yarmiga, ya’ni bir yarimga qo’sh, 4 bo’ladi. Mana shu kvadratning ildizidir. Kvadratning o’zi 16 bo’ladi”.
Agar tenglamada kvadratning soni birdan ortiq bo’lsa yoki birdan kam bo’lsa, bu hollarni Xorazmiy “bitta kvadrat holiga keltirib” yuqoridagi qoida bo’yicha echish kerak deb yozadi. Hozirgi belgilashlarga asosan bu qoidani ko’rinishida ifodalash mumkin.
Xorazmiy, umumiy ko’rinishdagi kvadrat tenglamalarni echish ustida maxsus to’xtalmagan. Lekin u ko’rinishdagi tenglama uchun keltirilgan qoidasini umumlashtirsak, quyidagini aytish mumkn. U bunday tenglamalarda avval _{ } ning koefistientini birga keltiradi, ya’ni uni keltirilgan tenglama shaklida yozadi.
Keltirilgan kvadrat tenglama esa uning bayon etgan qoidalarining biri bo’yicha echilishi mumkinligini yozadi.
Ya’ni Xorazmiy yoki tenglama ildizlarini topish uchun yoki formula bilan ifodalanuvchi qoida beradi, so’ngra bu foidaning geometrik isbotini ko’rsatadi. Uning geometrik isbotlari sonli misollar bilan umumiy xarakterga ega bo’lgan isbotlardir.
Xorazmiyning tenglama echish usullaridan namunalar keltiramiz. Masalan, V ko’rinishdagi tenglamalardan shunday misolni ko’raylik. Kvadrat va yigirma bir dirham o’n ildizga teng; u hozirgi belgilashlarda quyidagicha:
_{ } (3.1)
Xorazmiy qoidasi bo’yicha bu tenglamani echish usulini hozirgi belgilashlarda ham bajarsak, (misolda a=1, B=10, C=21); Echish: Hozirgi belgilashlarda:

1. 
   Ildiz sanog’ini yarimlat, bu 5 bo’ladi;
   
2. 
   Yarimlangan ildiz sanog’ini o’z-o’ziga ko’paytir – bu 25 bo’ladi; ;
   
3. 
   Yarimlangan ildiz sanog’ining kvadratidan yigirma birni ayir, bunda 4 qoladi;
   
4. 
   To’rtni kvadrat ildizdan chiqarsang 2 bo’ladi;
   
5. 
   Yarimlangan ildiz sanog’idan 2 ni ayirsang 3 bo’ladi;
   
6. 
   Agar xohlasang yarim ildiz sanog’iga 2 ni qo’shsang 7 bo’ladi;
   

Oxirida har ikkalasi izlangan ildiz bo’ladi, ya’ni , x₁=3, x₂=7
Agar >c bo’lganda V ko’rinishdagi kvadrat tenglamalarning hamma vaqt ikkita musbat ildizi borligini e’tiborga olib Xorazmiy – bu ko’rinishdagi tenglamalarning ildizlarini topish uchun yarim ildiz sanog’iga ildizdan chiqqan sonni qo’shish va ayirish amalini ishlatish zarur, deydi. Agar Xorazmiy yuqorida ko’rsatilgan (3.1) tenglamani echish qoidasining to’g’ri ekanligini geometrik metod bilan VI bobda isbot qiladi. Uning isbotini hozirgi simvollar bilan ko’rsatilsa quyidagicha bo’ladi. Uzunligi ildiz sanog’i 10 ga teng ND kesmaga tomoni noma’lum X bo’lgan kvadrat AD ni yasaydi. (9-shakl)
b x

M E	L		K 5-x		C
N	Q	H F	5 x	B X	X D

9 -shakl.

5
Kesmaning qolgan qismini bir tomoni AB ga teng to’g’ri to’rtburchak EB ga to’ldiradi; ED to’g’ri to’rtburchakning yuzi S_ED=10x va S_AD = x² (3.2) bo’ladi. (3.1) tenglama va (2) tenglikni e’tiborga olganda, to’g’ri to’rtburchak EB ning yuzi S_EB = 21 bo’lishi kerak.
Berilgan kesma ND o’rtasidan FK perpendikulyar chiqarib, uning davomiga tomoni (5-x) bo’lgan kvadrat LH yasaladi. Qolgan qismiga MQ to’g’ri to’rtburchakni joylashtirish natijasida tomoni 5 va yuzi S_MF = 25 (3.3) ga teng bo’lgan MF katta kvadrat hosil bo’ladi. Shakldagi MQ, QF va HB to’g’ri to’rtburchakning o’lchovlari x va 5-x ga teng, shuning uchun ular bir-biriga tengdir, ya’ni S_MQ+S_QF=S_HB=x(S-x); demak S=SM=21. (3.4). kichkina kvadrat KH ning yuzini shunday almashtirish mumkin; S_MF-SM=S(3.5)
(3.5), (3.3) va (3.4) tenglamalardan: 25-21=(5-x)² yoki (5-x)²=4 (3.6)
Kichik kvadrat LH ning bir tomoni 5-x=2 bundan x=3 bo’ladi. Demak, noma’lum kvadratning tomoni AD=3; bu (3.1) tenglmaning bitta echimi bo’ladi.
Berilgan (3.1) tenglamaning ikkinchi ildizi to’g’ri ekanligini isbotlashda shakl bir oz o’zgartirib chiziladi. Berilgan DN=10 kesmaga tomoni DB=x bo’lgan CB kvadrat yasaladi. Kesmaning qolgan qismi BN ga ikkinchi tomoni EN=x bo’lgan to’g’ri to’rtburchak AN chiziladi (2-shakl). Bu holda S_CN=10x, S_CB=x² va S_CN=S_CB+S_AN yoki 10x=x²+S_AN (3.7)
(3.1) va (3.7) dan S_AN = 21 (3.8) DN kesmaning o’rtasidan tomonlari FB=FH=x-5 ga teng bo’lgan HB kvadrat chiziladi, kvadratning HQ tomoniga ikkinchi tomoni HK=BN=ZM=10-x ga teng bo’lgan KQ to’g’ri to’rtburchak chizilganda, tomoni 5 va yuzi S_KN=25 (3.9) ga teng bo’lgan KN kvadrat hosil bo’ladi. Yasalgan KQ, QN va AM to’g’ri to’rtburchaklarning bir-biriga tengligidan S_AN=S_HKMNBQ=21 va kichik kvadratning yuzi: S_HB=(x-5)² (3.10) shakldan S_KN-S_HKMNBQ=S_HB (3.9) va (3.10) dan: 25-21=(x-5)² (3.11) yoki 4=(x-5)² ; CB kvadratning tomoni x-5=2; bundan x=7. Bu (3.1) tenglamaning ikkinchi ildizi. Shunday qilib, Xorazmiy “Geometrik algebra” metodidan foydalanib (3.1) tenglamani echish qoidasini to’g’ri ekanligini isbot qiladi.
Xaqiqatdan (3.6)va (3.11) tengliklarning shakli quyidagicha ketma-ket aynan almashtirish natijasida o’zgartirsak, yuqorida ko’rsatilgan formula hosil bo’ladi:
(3.6) dan: (3.11) dan:
25-21=(5-x)² 25-21=(x=5)²



Agar bu formula x²+c=bx ko’rinishdagi tenglamaga tatbiq etilsa: bo’ladi.
Ma’lumki, IV – VI tipda echiladigan ikkinchi tartibli tenglamalarni umuman olganda ko’rinishdagi tenglamalar deyish mumkin. Yuqoridagi misoldan bu ko’rinishdagi keltirilgan kvadrat tenglamaning musbat ildizlarini topish formulasi: ni birinchi bo’lib Xorazmiy o’z asarida bayon etganligini ko’ramiz.
Tenglamalarni echish bobidan so’ng Xorazmiy misolda algebraik ifodalar ustida amallarni bajarish qoidasini bayon etadi. Algebraik ifodalarda – tenglamalarda qatnashgan miqdordagi ildiz, kvadrat va sonlardan tashqari, kvadrat ildiz ishtirok etadi. Rastional algebraik ifodalar ustida to’rt amaldan tashqari, kvadrat ildizlarni bir-biriga ko’paytirish va bo’lish hamda ko’paytuvchining kvadrat ildiz ishorasi ostiga kiritish amallari bajariladi. Bu amallarning ayrimlarini bajarish foidasi umumiy ko’rinishda berilib, so’ng misollar keltiriladi.
Xorazmiy musbat va manfiy sonlarni hozirgidek “plus” va “minus” terminlari bilan atamasdan ularni qo’shish va ayirish ma’nosida “qo’shiluvchi” va “ayriluvchi” sonlar nomi bilan ataydi. Masalan, -a, -x va –x² larni ayiruvchi son ildiz yoki narsa va kvadrat nomi bilan ataydi va ko’paytirishda ishora qoidasini misolda quyidagicha ko’rsatadi: (-1)·(-1)=+1 – ayriluvchi bir bilan ayriluvchi birning ko’paytmasi qo’shiluvchi bir, (-x)·(-x)=+x² – ayriluvchi narsani ayriluvchi narsaga ko’paytmsi qo’shiluvchi kvadratdir, (-x)·(10)=-10x – ayriluvchi narsani qo’shiluvchi o’nga ko’paytmasi, ayriluvchi o’nta narsa 10-x ni “narsasiz o’n”, x-10 ni “o’nsiz narsa”, 100-x² ni “kvadratsiz yuz” va hokozo iboralari bilan ataydi.
Xorazmiy algebraik ifodalar ustida avval ko’paytirish so’ng qo’shish va ayirish, oraliqda esa bo’lish amallarini bajaradi. Ko’pxadni bir hadga va ko’phadga ko’paytirishning yangi o’rganuvchilar uchun tushunarli bo’lishini e’tiborga olib avval aniq sonda, so’ng rastional va kvadrat irrastionallikda ko’rsatadi. Xorazmiy: “Men, alohida turgan narsalarni, agar ular ildizlar bo’lsa yoki ildizga biror son qo’shilgan yoki ayrilgan bo’lsa, ularni bir-biriga ko’paytirishni, bir-biriga qo’shish va birini biridan ayirishni senga bayon etaman” deb va ni ko’paytirishning umumiy qoidasini beradi va bu qoida bo’yicha misollar keltiradi. Bu misollardan bir necha namunalar ko’rsatamiz:

1. 
   “Agar birsiz o’nni birsiz o’nga ko’paytirsang, bu o’nning-o’nga ko’paytmasi yuz ayriluvchi birni o’nga – bu ayriluvchi o’n yana ayriluvchi birni o’nga – bu ayriluvchi o’n, hammasi birgalikda – sakson, ayriluvchi birni ayriluvchi birga – bu qo’shiluvchi bir va bular hammasi birgalikda – sakson bir” shu ko’paytirish qoidasini hozirgi belgilarda quyidagicha ifodalash mumkin: _{ }
   

_{ }

2. 
   “Agar senga narsa bilan o’nni o’nsiz narsaga (ko’paytir) deyilsa, sen ayt: narsaning o’nga (ko’paytmasi) – bu qo’shiladigan o’n narsa narsaning narsaga – bu qo’shiluvchi kvadrat, ayriluvchi o’nning o’nga - bu ayriluvchi yuz dirham, ayriluvchi o’nning narsaga – bu ayriluvchi o’n narsa; shuning uchun sen qo’shiluvchi o’n narsani ayriluvchi o’n narsaga qarama-qarshi qo’yganingdan, ya’ni etishtirganingdan keyin, dirhamlarsiz kvadrat deysan yoki yuz dirhamsiz kvadrat qoladi”. Hozirgi belgilarda bu  bo’ladi.
   
3. 
   Xorazmiy bir jinsli bo’lgan algebraik ifodalarni qo’shish va ayirishni kesmalarda tasvirlab isbotlaydi. Masalan: “O’nsiz ildiz ostiga ikki yuzga ildiz ostiga ikki yuzsiz yigirmani qo’shishga kelsak, u shaklda quyidagicha bo’ladi”-deb Xorazmiy isbotdagi yasashlarni so’z bilan bayon etadi. Uning isbotini hozirgi belgilar bilan mana bunday yozish mumkin:
   

Agar va desak, (10-shakl), CB= -10 bo’ladi. So’ng B nuqtadan BD=2AC=2·10=20 kesma chiziladi. BD kesmadan BE=AB= kesma ajratilsa, DE=BD-BE=20- bo’ladi. BE kesmaga CB=BF= -10 kesma qo’yilsa, bu holda EF=10 va DE+BF=BD-EF=20-10-10 bo’ladi, ikkinchi tomondan: DE+BF=10 yoki ( -10) +(20- )=10. demak, ( -10)+(20-_{ }ya’ni bu ikki ifodaning yig’indisi o’nga teng ekanligi shakl yordamida isbotlandi.
Xorazmiy o’zi talqin qilgan algebraik va arifmetik amallarni olti bobda bayon qilganidan keyin, ularni tushuntirish maqsadida hamda al-Jabr va al-Muqobala qoidasini tushuntirish uchun konkret misollar keltiradi. Xorazmiy 100+x²-20x va 50+10x-2x² ko’rinishdagi bir jinssiz ifodalarni bir-biriga qo’shish geometrik shaklsiz ham oson ekanligini uqtirib, bu ifodalarni qo’shishni so’z orqali shunday bajaradi:



A
C

D E F B 10-shakl

Xorazmiy algebraik ifodalar ustida amallar bajarish bobidan so’ng yuqorida ko’rsatilgan olti tipdagi tenglamalarga keltiriladigan va proporstiya yordamida echiladigan sonli masalalarni echish qoidasini beradi. Masalan, “Sen uchdan bir narsa va dirhamni to’rtdan bir narsa va dirhamga ko’paytirsang yigirmaga teng bo’ladi”. Bizning belgilarda ushbu tenglama hosil bo’ladi:
(1')
(1') tenglamaning chap qismi hadma-had ko’paytirilib bunday ko’rinishda yoziladi: (2')
(2') ga al-muqobala operastiyasi qo’llanilsa: (3')
(3') ni kasrdan qutqazib ixchamlansa, IV tur tenglamaga keladi. x²+4x+3x=228 yoki x²+7x=228 (4')
(4') tenglamaning ildizi quyidagi formula bo’yicha topiladi:
Demak, izlangan “narsa” x=12 ekan.
Amaliy masalalar ichida, odamlar o’rtasida pul yoki g’allani taqsimlashda odamlarning sonini topishga doir masalalar shu sonning bo’lagini topish usuli bilan hal qilinadi. Masalan, “Sen odamlar o’rtasida dirhamni bo’l, ularning har biriga ma’lum narsa tegadi, agar bu odamlarga yana bir odam qo’shilsa, har biriga tegadigan narsa birinchi galdagidan oltidan biriga kam bo’ladi. Buning qoidasi bunday bo’ladi”-deb Xorazmiy masala shartidan tenglama tuzadi va uni ochadi.
Odamlar sonini x bilan har bir kishiga tegadigan “narsa” ni va bir odam qo’shilgandan so’ng har bir kishiga tegadigan “narsa” ni bilan belgilab, masala sharti bo’yicha (1'') tenglama tuzadi. (1'') tenglamani echish uchun uning shaklini aynan o’zgatiradi: yoki (2'')
(2'') ni qavsni ochib kasrdan qutqarilsa, IV tur tenglama hosil bo’ladi: yoki x²+x=6 (3'')
(3'') tenglamaning musbat ildizi quyidagi formula bo’yicha topiladi:
Demak, dastlab dirhamni bo’lishda ikki kishi qatnashgan.