|
3-§. Arifmetika masalalarini yechishda Ibn Sino qoidalaridan foydalanish.
Ibn Sinoning “Donishnoma” asaridagi to`rtta matematik fanlardan arifmetikaga bag`ishlangan bo`lim, muzika bo`limidan oldin bayon etilgan bo`lib, bunda asosiy arifmetik masalalar bayon etilgan. Arifmetika bo`limi 7 bobdan iborat.
Birinchi bob, sonlarning turi va umumiy xossalari haqida. Son deb yozadi ibn Sino, bu birliklar to`plamidir. Ya`ni ixtiyoriy son birdan katta bo`lgan natural sondir.
Sonlar juft va toq sonlarga bo`linadi, ularning xossalari ko`rsatiladi. Bular quyidagilardan iborat:
1.Sonlar ketma-ketldigida, xar bir son, o`zidan teng uzoqlikda turgan ikki son yig`indisining yarmiga teng. Masalan, agar sonlar ketma ketligi berilgan bo`lsa, u xolda birdan boshqa xar bir son quyidagi formula bilan ifodalanadi:
2.Sonlar ketma ketligida,bu ketma ketlik boshidan va oxiridan teng uzoqlikda turgan sonlarning yig`indilari o`zaro teng bo`ladi. Bu arifmetik progressiya tuzuvchi sonlar qatorining xossasini ifodalaydi. Ya`ni ketma-ketligida va ketma–ketligida
3.Birdan boshlab, istagan songacha berilgan sonlar ketma-ketligining yig`indisini topish uchun hadlar sonining yarmi bilan hadlar soniga bir qo`shilgan sonni ko`paytirish kerak. Bu arifmetik progressiya tuzuvchi sonlar yig`indisini ifodalavchi xossa xisobotlanadi.
Ya`ni, berilganda
4.Agar har qanday ketma-ketlikda birdan boshlab, biror songacha bo`lgan sonlar va aksincha bu sondan boshlab, birgacha bo`lgan sonlar qo`shilsa, oxirgi sonning kvadrati xosil bo`ladi. Ya`ni ketma-ketlikda:
5.Agar toq sonlar birdan boshlab qo’shilsa, hadlar sonining kvadrati xosil bo`ladi. Ya`ni ketma-ketlikda:
Ikkinchi bob juft sonlar xaqida. Bu bobda juft sonlarning xossalari, juft-juft sonlar, juft-toq sonlar, ularning xossalari bayon etilgan.
Agar ketma-ket juft sonlar berilgan bo`lsa, ya`ni . U xolda . Juft-juft son shunday sonki, uni ikkiga va xosil bo`lgan sonning yarimlarining har birini yani ikkiga, hosil bo`lgan sonning choraklarining har birini yana ikkiga va hokazo bo`lish mumkinki,toki oxirida bir soni hosil bo`lsin.
Bunday juft-juft sonlar ketma-ketligining yig`indisi birdan boshlab quyidagicha topiladi:
Uchinchi bob toq sonlar haqida. Bu bobda toq sonlarning uch xil shaklda bo`lishi va ularning xossalari bayon etilgan. Bular: tub sonlar,murakkab sonlar, o`zaro tub sonlardan iborat. Masalan, tub sonlar, murakkab sonlar. 9 va 25 o`zaro tub sonlar bo`ladi.
Tub sonlarni olish uchun Iskandariyalik olim Eratosfen (eramizdan oldingi 276-194 yil) tomonidan berilgan “g`alvir jadvali” usulini qo`llash mumkinligini ko`rsatiladi. Bunda xamma toq sonlar ketma-ketligini yozilib, so`ng sonlarga karrali bo`lgan sonlar uchiriladi.U xolda qolgan sonlar – tub sonlar bo`ladi:
To`rtinchi bob “zoid”, “noqis” va “mukammal” sonlar haqida. Bu bobda sonlar, ularning qiymatlari bilan, shu son bo`luvchilarning yig`indisi bir-biriga tengligi va teng emasligiga qarab, uch xilga bo’linishi va ularning xossalari bayon etilgan. Agar biror son buluvchilarining yig`indisi shu sonning o`zidan katta bo`lsa, u “zoid” son deb aytiladi. Masalan, 12 “zoid” son, chunki . Agar biror son bo’luvchilarining yig`indisi, u sonning o`zidan kichik bo`lsa, u «noqis» son deb aytiladi. Masalan: 8, chunki . Agar biror son bo`luvchilarining yig`indisi, u sonning o`ziga teng bo`lsa, u «mukammal» son deb aytiladi. Masalan, 6 va 28 mukammal sonlar, chunki
Shuni aytish kerakki, «mukammal sonlar» tushunyachasi juda qadimiy tushuncha bo`lib, bunday sonlar pifagorchilar asarlarida bayon etiladi. «Noqis» va «zoid» sonlar tushunchasi esa keyinchalik paydo bo`lgan tushunchalar hisoblanadi.
shaklida har bir juft-juft son quyidagi yig`indi vositasida ifodalanadi.
Demak, shaklidagi son, o`z bo`luvchilarining yig`indisidan bitta ortiqdir. SHu sababli har handay juft-juft son “noqis” son hisoblanadi. Masalan, sonining bo`luvchilari yig`indisi
va . Demak, 16 “noqis” sondir.
So`ngra juft-juft sonlardan “mukammal” son hosil etish qoidasini beriladi. Ibn Sino bayon etgan qoidani quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:
Bundan r va tub sonlar. Masalan, 1,2,4 sonlariga bu qoida tadbiq etilsa: “mukammal son” hosil bo`ladi. Bunda “mukammal son” juft son bilan toq sonning ko`paytmasiga teng bo`lganligi sababli, u juft bo`ladi. Shuning uchun ibn Sino “mukammal son” faqat juft son bo`lishi kerakligi haqida yozadi. Yuqoridagi formulada
bo`lsa bo`lsa bo`lsa
bo`lsa bo`ladi.
Demak, “mukammal son” birliklar orasida bitta, o`nliklar orasida bitta va nihoyat mingliklar orasida ham bitta bo`ladi. Bunday sonlar yunon olimi Nikoxmaxning “Arifmetikaga kirish” kitobida keltirilgan.
Navbatdagi “mukammal son” Regiomontan (1436 - 1576) tomonidan topilgan. Bu son: . Shuni qayd qilish kerakki, hozirgi vaqtda har qanday juft “mukammal son” yuqoridagi (1) formula shaklida ifoda etilishi isbotlangan. Lekin birorta ham toq mukammal son topilmagan. Ammo toq mukammal sonlar bo`lishi mumkin emasligini ham isbot etilmagan.
Beshinchi bob nisbatlar to’g`risida. Bu bobda nisbat, uning ta`rifi “oshirilgan nisbatlar”, “yetishmaydigan nisbatlar”, ularning xossalari bayon etilgan. Oshirilgan nisbatlar, ya`ni katta sonning kichik songa nisbati quyidagi xollarda bo`lishi mumkin:
Bunday nisbatlarning xossalari konkret misollarda bayon etiladi. Etishmaydigan nisbat, ya`ni kichik sonning katta songa nisbati, masalan,
shaklda nisbat tuziladi. Bunday nisbatlar haqida ibn Sino shunday deb yozadi, ba`zi vaqt bunday nisbat “uchdan bir”, “chorak” , “o’n ikkidan bir” deb aytiladi. Ba`zi vaqt ikki nisbat orqali ham aytadilar , masalan, oltidan birining yarmi, o’ndan birining yarmi , beshdan birining yarmi va hokozo.
Do'stlaringiz bilan baham: |
