Мавзу: Векторлар. Векторлар устида чизиқли амаллар. Икки векторни скаляр кўпайтириш

Исбот: (*) муносабатнинг ҳол учун ўринли эканлиги равшан. бўлсин. Юқоридаги хоссаларга кўра
Исбот тугади.
Ортонормаланган базис учун

Исбот: Скаляр кўпайтма таърифидан

Исбот тугади.
Таъриф. Иккита вектор ортогонал дейилади, агар улар орасидаги бурчак 90⁰ бўлса.
2. Скаляр кўпайтманинг координаталардаги ифодаси.
вектор фазода ортонормаланган бизисни олайлик. векторлар бу базисга нисбатан ва координаталарга эга бўлсин:

Юқоридаги хоссаларга асосан

муносабатни ёза оламиз, юқоридаги 7-хоссани эътиборга олсак,
(1)
Демак, координаталари билан берилган икки векторнинг скаляр кўпайтмаси бу векторлар мос координаталари кўпайтмаларининг йиғиндисига тенг.
Натижалар. 1. векторнинг узунлиги унинг координаталари квадратларининг йиғиндисидан олинган арифметик квадрат илдизга тенг:

2. Икки вектор орасидаги бурчак ушбу формула бўйича ҳисобланади:
,
бу ерда ва векторлар орасидаги бурчак.
Координаталари билан берилган векторлар учун
. (2)
3. векторларнинг перпендикулярлик шарти қуйидагича бўлади:

Ҳақиқатан, (1) дан

3.Vеktоrning йўналтирувчи косинуслари.
Одатда векторнинг координата ўқлари билан ташкил қилган бурчакларининг косинуслари унинг йўналтирувчи косинуслари дейилади.
векторнинг йўналтирувчи косинуслари унинг координаталари орқали қуйидагича аниқланади:
, , .(3)
Ҳақиқатан, масалан, учун формула қуйидагича исботланади:

Бирлик векторнинг координаталари унинг йўналтирувчи косинусларидан иборат, яъни агар бўлса, .
(3) га кўра
(4)
формулани ҳосил қилиш мумкин, яъни векторнинг йўналтирувчи косинуслари квадратларининг йиғиндиси бирга тенг.