Мавзу: Векторлар. Векторлар устида чизиқли амаллар. Икки векторни скаляр кўпайтириш

Таъриф: векторнинг сонга кўпайтмаси деб, шундай векторга айтиладики, бўлганда нинг йўналиши нинг йўналиши билан бир хил, да нинг йўналиши нинг йўналишига тескари бўлиб, векторнинг узунлиги эса векторнинг узунлиги билан сон модулининг кўпайтмасига тенг. Бу кўпайтма шаклида белгиланади.
Бу таърифдан бевосита қуйидаги хулосалар келиб чиқади:
вектор учун ;
учун ;
вектор учун , ;
ва векторлар ўзаро коллинеардир.
Шуни таъкидлаймизки, бирор векторни ўзининг узунлигига тескари сонга кўпайтирилса, шу вектор йўналишдаги бирлик вектор (орт) ҳосил бўлади, яъни

Теорема: Агар ║ бўлса, у ҳолда шундай сон мавжудки,
(3)
бўлади.
Исбот. ║ бўлгани учун қуйидаги уч ҳол бўлиши мумкин:
1) бўлса, бўлиб, бундан бу ҳолда бўлади.
2) бўлса, бўлиб, бундан бу ҳолда бўлади.
3) бўлганда ;бундан . Теорема исботланди.
Демак, векторни сонга кўпайтириш таърифидан ва бу теоремадан бундай хулоса чиқарамиз; ║ . Шундай қилиб (3) муносабат векторлар коллинеарлигининг зарурий ва етарли шартидир.
Векторни сонга кўпайтириш қуйидаги хоссаларга эга:
Гуруҳланиш хоссаси. Ихтиёрий вектор ва ҳар қандай сонлар учун

муносабат ўринлидир.
Ҳар қандай вектор ва ихтиёрий сонлар учун

муносабат ўринли.
Ҳар қандай векторлар ва ихтиёрий учун

муносабат ўринлидир.
Шундай қилиб, барча озод векторлар тўплами да аниқланган векторларни қўшиш ва векторни сонга кўпайтириш амаллари қуйидаги хоссаларни қаноатлантирар экан:
1⁰. (қўшишнинг ассоциативлиги).
2⁰. (қўшишнинг коммутативлиги).
3⁰. учун (ноль векторнинг мавжудлиги).
4⁰. учун (қарама-қарши векторнинг мавжудлиги).
5⁰. (векторни сонга кўпайтиришнинг сонларга нисбатан ассоциативлиги).
6⁰. (векторни сонга кўпайтиришнинг сонларни қўшишга нисбатан дистрибутивлиги).
7⁰. (векторларни қўшишга нисбатан сонга кўпайтиришнинг дистрибутивлиги).
8⁰. .
Бу саккиз хоссани қаноатлантирувчи векторлар тўплами вектор фозо(ёки чизиқли фазо)деб аталади.