Mavzu: Uzluksiz funkisya xossalaridan foydalanib elementar matematika misol va masalalarimi yechish



Download 254,4 Kb.
bet3/6
Sana09.07.2022
Hajmi254,4 Kb.
#762143
1   2   3   4   5   6
Bog'liq
Mavzu(tayyor)

2-misol Tengsizlikni yeching: 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 < 3 (2)

Yechish. у = 2x, у = 3x, у = 4х funksiyalarning har biri butun son o’qida uzluksiz va qat’iy o’suvchi. Demak, berilgan 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 funksiya ham o’suvchi bo’ladi. Osongina ko’rish mumkinki, х = 0 da 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 funksiya 3 ga teng qiymatni qabul qiladi. Bu funksiya uzluksiz va monoton bo’lgani uchun х > 0 da 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 > 3 tengsizlikka, х < 0 da esa 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 < 3 tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib, berilgan tenglamaning yechumlari barcha х < 0 sonlardan iborat bo’ladi. Javob: (-∞; 0).

3-misol. Tenglamani yeching: - =2
(3)

Yechish. (3) tenglamaning aniqlanish sohasi [2;18] oraliqdan iborat. Bu

to’plamda ƒ(𝑥) = - va g(𝑥) = funksiyalar uzluksiz va qat’iy

kamayuvchi. Demak, h(𝑥) = - ham uzluksiz va qat’iy

kamayuvchi bo’ladi. Shuning uchun h(x) funksiya o’zining har bir qiymatini bitta nuqtada qabul qiladi. ℎ(2) = 2 bo’lgani uchun х = 2 berilgan tenglamaning yagona yechimi bo’ladi. Javob: {2}.
1.2§. Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish.
Tenglama va tengsizliklarni yechishda funksiyalarning biror to’plamda quyidan va yuqoridan chegaralanganlik xossasi muhim ahamiyatga ega.
Agar Shunday C son mavjud bo’lib, ixtiyoriy x D uchun f (x) ≤ C
tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya D to’plamda yuqoridan chegaralangan
deyiladi ( 2-chizma).
Agar Shunday c son mavjud bo’lib, ixtiyoriy x D uchun f (x) ≥c
tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya D to’plamda quyidan chegaralangan
deyiladi ( 3-chizma).
Yuqoridan va quyidan chegaralangan f funksiya D to’plamda
chegaralangan deyiladi. Geometrik nuqtai nazardan f funksiyaningchegaralanganligi y = f (x), x D funksiyaning grafigi c ≤ y ≤ C polosada
jolashishini anglatadi ( 4-chizma).
Son o’qida quyidan chegaralangan funksiya sifatida y = x2 funksiyani, yuqoridan chegaralangan funksiya sifatida (–∞; 0) to’plamda y = 1/x funksiyanikeltish mumkin. Son o’qida chegaralangan funksiyaga esa y = sin x misol bo’la oladi.
.
2-chizma

3-chizma


4-chizma

  1. misol. Tenglamani yeching : sin(x3 + 2 + 1) = х2 + + 2. (4)

Yechish. Ixtiyoriy x haqiqiy son uchun sin(x3 + 2 + 1) ≤ 1,
х2 + + 2 = (x + 1)2 + 1 1 tengsizliklar o’rinli bo’lgani uchun berilgan tenglama faqat 𝑥 = −1 da yechimga ega bo’lishi mumkin.
𝑥 = −1 da 𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 1, sin(−1 + 2 + 1) = 𝑠i𝑛2 G 1 bo’lgani uchun
𝑥 = −1 da (4) tenglama ham yechimga ega emas. Javob: Ø.

  1. misol. Tenglamani yeching: x3-x-sinπx=0 (5)

Yechish. Ko’rinib turibdiki, х = 0, х = 1, х = -1 lar berilgan tenglamaning yechimlari bo’ladi. Boshqa ildizlarni topish uchun f(х) = = x3 - x - sin πx funksiyaning juftligidan fodalanib х > 0, х 1 shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarni toppish yetarli, chunki, agar x0 > 0 soni yechim bo’lsa, u holda (-x0) soni ham yechim bo’ladi.
х > 0, х 1 to’plamni ikkita (0; 1) va (1; +∞) qismlarga ajratamiz.
Dastlabki tenglamani x3 - x = sin πx ko’rinishda yozib olamiz. (0; 1) oraliqda
х3 < х bo’lgani uchun g(х) = x3 – x<0 shartni, ikkinchi funksiya esa
h(x) = sin πx>0 shartni qanoatlantiradi. Demak, bu oraliqda tenglama yechimga ega emas.
𝑥 ∈ (1; +∞) bo’lsin. U holda g(х) = х3 – х>0 va h(x) = sin πx funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. Bundan tashqari (1; 2] oraliqda h(x) = sin πx funksiya musbat emas. Demak, (1; 2] oraliqda tenglama yechimga ega emas.
Agar х > 2 bo’lsa , u holda |sin πx| ≤ 1, x3 - x = x(x2 - 1) > 2·3 = 6 munosabatlar o’rinli bo’lib, bu (1; +∞) oraliqda tenglamaning yechimga ega emasligini anglatadi..
Shunday qilib, x = 0, x = 1 va x = -1 sonlarigina berilgan tenglamaning

yechimlari bo’lar ekan. Javob: {-1; 0; 1}.

  1. misol. Tengsizlikni yeching: < 2x (6)

Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasi x = -1 nuqtadan tashqari boshqa barcha x lar to’plamidan iborat. Uning aniqlanish sohasini uchta:
-∞ < x < -1, -1 < x 0, 0 < x < +∞ to’plamlarga ajratamiz va har bir oraliqda tengsizlikni qarab chiqamiz.

< x < -1 bo’lsin. U holda g(x) = < 0 va f(x) = 2x > 0. Demak

yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar yechim bo’ladi.





-1 < x 0 bo’lsin. U holda g(x) = 1 - 1 va f(x) = 2x 1.

Demak, -1 < x 0 sonlarning birortasi ham tengsizlikning yechimi bo’lolmaydi.



0 < x < +∞ bo’lsin. U holda g(x) = 1 - < 1va f(x) = 2x > 1. Demak

yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar yechim bo’ladi.


Javob: (−∞; −1) 𝖴 (0; +∞).


    1. 1.3 §. Funksiyaning davriyligidan foydalanish.


Agar quyidagi ikkita shart bajarilsa, f (x) T ≠ 0 davrli davriy funksiya
deyiladi:



  • Agar x D bo’lsa, u holda x + T va x – T lar ham D (f (x)) aniqlanish

sohasiga qarashli bo’ladi;

  • x D uchun quyidagi tenglik o’rinli

f (x + T) = f (x).


x - T D bo’lgani uchun keltirilgan ta’rifdan
f (x - T) = f (x).


tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
Agar T f (x) funksiyaning davri bo’lsa, u holda soni ham bu funksiyaning davri bo’ladi.
n Z , n ≠ 0 lar uchun nT

Funksiyaning davri bo’lgan musbat sonlarning eng kichigiga uning eng kichik musbat davri deyiladi.



y=7sin davriy funksiyaning grafigi

Davriy funksiyalarning bir nechta xossalarini keltirib o’tamiz:

  1. Agar f (x) funksiyaning dari T bo’lsa, u holda g (x) = A · f (kx + b),




k 0 funksiyaning davri T1= bo’ladi.


  1. f1 (x) va f2 (x) funksiyalar butun son o’qida aniqlangan bo’lib, T1 > 0 va T2> 0 lar mos ravishda ularning davrlari bo’lsin . Agar ∈ Q bo’lsa u holda f ( x) =f1(x) + f 2 (x) funksiyaning T davri, T1 va T2 sonlarning eng kichik

umumiy karralisiga teng bo’ladi.

  1. misol. Funksiya ƒ(x) - T = 5 davrli davriy funksiya. Agar ƒ(1) = 4; ƒ(−2) = 1

ekanligi ma’lum bo’lsa,
ƒ(11) - 3 ƒ(-7)+ ƒ(3)
ning qiymatini toping.



Yechish. Har bir qo’shiluvchini soddalashtiramiz:

f (11) = f (1+2 5)=f (1)=4 f (-7) = f (-2-5)=f (-2)=1

f (3) = f (-2+5)=f (-2)=1

Bulardan
f (11) -3 f (-7) + f (3) = 4-3*1+1=2
Javob: 2.
    1. 1.4§. Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish.


y= ƒ(x) funksiya ma’noga ega bo’ladigan barcha haqiqiy sonlar to’plami bu funksiyaning aniqlanish sohasi deb ataladi.
Ba’zi hollarda funksiyaning aniqlanish sohasini bilis+h, tenglama va tengsizliklarning yechimga ega emasligini isbotlashda, ba’zi hollarda esa aniqlanish sohasiga tegishli sonlarni tenglamaga bevosita qo’yish natijasida yechimlarni topish imkonini beradi.
1-misol. Tenglamani yeching =log5(x-3)
Yechish. Berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi 3 – x ≥ 0 va x − 3 > 0 shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi x lardan, ya’ni bo’sh to’plamdan iborat.Shuning uchun tenglama yechimga ega emas.
2-misol. Tenglamani yeching
= +tgx (2)
Yechish. Berilgan
tenglamaning aniqlanish sohasi |sinx| ≥ 0 va −|sinx| ≥ 0



x≠ +n n­ shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi x lardan, ya’ni
x = , n­ to’plamdan iborat. х ning bu qiymatlarini (2) tenglamaga qo’yib, tenglamaning chap va o’ng tomonlari bir xil 0 ga teng qiymat qabul qilishini ko’ramiz. Bu esa x = , n­ sonlarning barchasi uning yechimi bo’lishini anglatadi.

  1. Download 254,4 Kb.

    Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish