Mavzu: Uzluksiz funkisya xossalaridan foydalanib elementar matematika misol va masalalarimi yechish

2-misol Tengsizlikni yeching: 2^𝑥 + 3^𝑥 + 4^𝑥 < 3 (2)

Yechish. у = 2^x, у = 3^x, у = 4^х funksiyalarning har biri butun son o’qida uzluksiz va qat’iy o’suvchi. Demak, berilgan 𝑦 = 2^𝑥 + 3^𝑥 + 4^𝑥 funksiya ham o’suvchi bo’ladi. Osongina ko’rish mumkinki, х = 0 da 𝑦 = 2^𝑥 + 3^𝑥 + 4^𝑥 funksiya 3 ga teng qiymatni qabul qiladi. Bu funksiya uzluksiz va monoton bo’lgani uchun х > 0 da 2^𝑥 + 3^𝑥 + 4^𝑥 > 3 tengsizlikka, х < 0 da esa 2^𝑥 + 3^𝑥 + 4^𝑥 < 3 tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib, berilgan tenglamaning yechumlari barcha х < 0 sonlardan iborat bo’ladi. Javob: (-∞; 0).

3-misol. Tenglamani yeching: - =2
⁽³⁾

Yechish. (3) tenglamaning aniqlanish sohasi [2;18] oraliqdan iborat. Bu

^{to’plamda ƒ(𝑥) =} - va ^{g(𝑥) =} funksiyalar uzluksiz va qat’iy

^{kamayuvchi. Demak, h(𝑥) =} - ham uzluksiz va qat’iy

kamayuvchi bo’ladi. Shuning uchun h(x) funksiya o’zining har bir qiymatini bitta nuqtada qabul qiladi. ℎ⁽2⁾ = 2 bo’lgani uchun х = 2 berilgan tenglamaning yagona yechimi bo’ladi. Javob: {2}.
1.2§. Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish.
Tenglama va tengsizliklarni yechishda funksiyalarning biror to’plamda quyidan va yuqoridan chegaralanganlik xossasi muhim ahamiyatga ega.
Agar Shunday C son mavjud bo’lib, ixtiyoriy x D uchun f (x) ≤ C
tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya D to’plamda yuqoridan chegaralangan
deyiladi ( 2-chizma).
Agar Shunday c son mavjud bo’lib, ixtiyoriy x D uchun f (x) ≥c
tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya D to’plamda quyidan chegaralangan
deyiladi ( 3-chizma).
Yuqoridan va quyidan chegaralangan f funksiya D to’plamda
chegaralangan deyiladi. Geometrik nuqtai nazardan f funksiyaningchegaralanganligi y = f (x), x D funksiyaning grafigi c ≤ y ≤ C polosada
jolashishini anglatadi ( 4-chizma).
Son o’qida quyidan chegaralangan funksiya sifatida y = x² funksiyani, yuqoridan chegaralangan funksiya sifatida (–∞; 0) to’plamda y = 1/x funksiyanikeltish mumkin. Son o’qida chegaralangan funksiyaga esa y = sin x misol bo’la oladi.
.
2-chizma

3-chizma

4-chizma

1. 
   misol. Tenglamani yeching : sin(x³ + 2х² + 1) = х² + 2х + 2. (4)
   

Yechish. Ixtiyoriy x haqiqiy son uchun sin(x³ + 2х² + 1) ≤ 1,
х² + 2х + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1 tengsizliklar o’rinli bo’lgani uchun berilgan tenglama faqat 𝑥 = −1 da yechimga ega bo’lishi mumkin.
𝑥 = −1 da 𝑥² + 2𝑥 + 2 = 1, sin⁽−1 + 2 + 1⁾ = 𝑠i𝑛2 G 1 bo’lgani uchun
𝑥 = −1 da (4) tenglama ham yechimga ega emas. Javob: Ø.

2. 
   misol. Tenglamani yeching: x³-x-sinπx=0 (5)
   

Yechish. Ko’rinib turibdiki, х = 0, х = 1, х = -1 lar berilgan tenglamaning yechimlari bo’ladi. Boshqa ildizlarni topish uchun f(х) = = x³ - x - sin πx funksiyaning juftligidan fodalanib х > 0, х ≠ 1 shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarni toppish yetarli, chunki, agar x₀ > 0 soni yechim bo’lsa, u holda (-x₀) soni ham yechim bo’ladi.
х > 0, х ≠ 1 to’plamni ikkita (0; 1) va (1; +∞) qismlarga ajratamiz.
Dastlabki tenglamani x³ - x = sin πx ko’rinishda yozib olamiz. (0; 1) oraliqda
х³ < х bo’lgani uchun g(х) = x³ – x<0 shartni, ikkinchi funksiya esa
h(x) = sin πx>0 shartni qanoatlantiradi. Demak, bu oraliqda tenglama yechimga ega emas.
𝑥 ∈ (1; +∞) bo’lsin. U holda g(х) = х³ – х>0 va h(x) = sin πx funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. Bundan tashqari (1; 2] oraliqda h(x) = sin πx funksiya musbat emas. Demak, (1; 2] oraliqda tenglama yechimga ega emas.
Agar х > 2 bo’lsa , u holda |sin πx| ≤ 1, x³ - x = x(x² - 1) > 2·3 = 6 munosabatlar o’rinli bo’lib, bu (1; +∞) oraliqda tenglamaning yechimga ega emasligini anglatadi..
Shunday qilib, x = 0, x = 1 va x = -1 sonlarigina berilgan tenglamaning

yechimlari bo’lar ekan. Javob: {-1; 0; 1}.

3. 
   misol. Tengsizlikni yeching: < 2^x (6)
   

Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasi x = -1 nuqtadan tashqari boshqa barcha x lar to’plamidan iborat. Uning aniqlanish sohasini uchta:
-∞ < x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ to’plamlarga ajratamiz va har bir oraliqda tengsizlikni qarab chiqamiz.

∞ < x < -1 bo’lsin. U holda g(x) = < 0 va f(x) = 2^x > 0. Demak

yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar yechim bo’ladi.

^-1 < x ≤ 0 bo’lsin. U holda g(x) = 1 - 1 va f(x) = 2^x ≤ 1.

Demak, -1 < x ≤ 0 sonlarning birortasi ham tengsizlikning yechimi bo’lolmaydi.

0 < x < +∞ bo’lsin. U holda g(x) = 1 - < 1va f(x) = 2^x > 1. Demak

yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar yechim bo’ladi.

Javob: ⁽−∞; −1⁾ 𝖴 (0; +∞).

1. 1.3 §. Funksiyaning davriyligidan foydalanish.

Agar quyidagi ikkita shart bajarilsa, f (x) T ≠ 0 davrli davriy funksiya
deyiladi:

• 
  Agar x ∈ D bo’lsa, u holda x + T va x – T lar ham D (f (x)) aniqlanish
  

sohasiga qarashli bo’ladi;

• 
  ∀ x ∈ D uchun quyidagi tenglik o’rinli
  

f (x + T) = f (x).

x - T ∈ D bo’lgani uchun keltirilgan ta’rifdan
f (x - T) = f (x).

tenglikning bajarilishi kelib chiqadi.
Agar T – f (x) funksiyaning davri bo’lsa, u holda soni ham bu funksiyaning davri bo’ladi.
n ∈ Z , n ≠ 0 lar uchun nT

Funksiyaning davri bo’lgan musbat sonlarning eng kichigiga uning eng kichik musbat davri deyiladi.



y=7sin davriy funksiyaning grafigi

Davriy funksiyalarning bir nechta xossalarini keltirib o’tamiz:

1. 
   Agar f (x) funksiyaning dari T bo’lsa, u holda g (x) = A · f (kx + b),
   

k ≠ 0 funksiyaning davri T₁= bo’ladi.

2. 
   f₁ (x) va f₂ (x) funksiyalar butun son o’qida aniqlangan bo’lib, T₁ > 0 va T₂> 0 lar mos ravishda ularning davrlari bo’lsin . Agar ∈ Q bo’lsa u holda f ( x) =f₁(x) + f ₂ (x) funksiyaning T davri, T₁ va T₂ sonlarning eng kichik
   

umumiy karralisiga teng bo’ladi.

1. 
   misol. Funksiya ƒ(x) - T = 5 davrli davriy funksiya. Agar ƒ⁽1⁾ = 4; ƒ⁽−2⁾ = 1
   

ekanligi ma’lum bo’lsa,
ƒ⁽11^{) - 3} ƒ^(-7)+ ƒ⁽3⁾
ning qiymatini toping.

Yechish. Har bir qo’shiluvchini soddalashtiramiz:

f (11) = f (1+2 5)=f (1)=4 f (-7) = f (-2-5)=f (-2)=1

f (3) = f (-2+5)=f (-2)=1

Bulardan
f (11) -3 f (-7) ⁺ f (3) ^{= 4-3*1+1=2}
Javob: 2.

2. 1.4§. Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish.

y= ƒ(x) funksiya ma’noga ega bo’ladigan barcha haqiqiy sonlar to’plami bu funksiyaning aniqlanish sohasi deb ataladi.
Ba’zi hollarda funksiyaning aniqlanish sohasini bilis+h, tenglama va tengsizliklarning yechimga ega emasligini isbotlashda, ba’zi hollarda esa aniqlanish sohasiga tegishli sonlarni tenglamaga bevosita qo’yish natijasida yechimlarni topish imkonini beradi.
1-misol. Tenglamani yeching =log₅(x-3)
Yechish. Berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi 3 – x ≥ 0 va x − 3 > 0 shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi x lardan, ya’ni bo’sh to’plamdan iborat.Shuning uchun tenglama yechimga ega emas.
2-misol. Tenglamani yeching
= +tgx (2)
Yechish. Berilgan
tenglamaning aniqlanish sohasi |sinx| ≥ 0 va −^|sinx^| ≥ 0

x≠ +n n­ shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi x lardan, ya’ni
x = , n­ to’plamdan iborat. х ning bu qiymatlarini (2) tenglamaga qo’yib, tenglamaning chap va o’ng tomonlari bir xil 0 ga teng qiymat qabul qilishini ko’ramiz. Bu esa x = , n­ sonlarning barchasi uning yechimi bo’lishini anglatadi.

2.