|
2.2§. Tenglama ildizini topishning “tanlash” usuli.
Ba’zi hollarda tenglamaning tashqi ko’rinishidan uning ildizlarini topish mumkin bo’ladi.
misol. Tenglamani yeching:
x3 + 3x - 36 = 123 . (1)
Yechish. (1) tenglamani quyidagicha qayta yozib olamiz:
x3 + 3x -123 -12 * 3 = 0 . (2)
Bu tenglamaning tashqi ko’rinishidan х = 12 soni uning ildizi bo’lishini sezish qiyin emas. Qolgan ildizlarni toppish uchun ko’phadni quyidagicha soddalashtiramiz.
x3 + 3x – (123 + 3*12) =(x3 +123 ) – 3( x -12) = ( x -12)( x2 +12x -122 + 3) =
= ( x – 12)( x2 +12x +147).
x2+12x+147 ko’phad ildizlarga ega emas, shuning uchun berilgan tenglama yagona х = 12 ildizga ega bo’ladi.
2.3§. Parametrga bog’liq masalalarni yechish.
Mantiqiy xarekterdagi jiddiy qiyinchiliklar odatda tenglamalar, tengsizliklar yoki parametrga bog’liq sistemalarni yechishda ko’p uchraydi. Bunday masalalar uchrashi mumkin bo’lgan eng qiyin masalalar bo’lib ular mantiqiy fikrlash madaniyatini talab qilishi bilan ajralib turadi. Bunga o’hshash masalalarni yechish jarayonida doimo qanday bosqich amalga oshirilgani, yana nima qilish kerakligini, olingan natijalar nimalarni anglatishini tasavvur etib borishga to’gri keladi.
1. a parametrning qanday qiymatlarida
1+sin2ax=cosx tenglama yagona yechimga ega bo’ladi?
Yechish: Ko’rinib turibdiki, a-ixtiyoriy bo’lganda sin2 ax ifodani sinx va cosx lar orqali ifodalab bo’lmaydi. Shuning uchun qaralayotgan tenglamani odatdagi usullar yordamida yechib bo’lmaydi, ya’ni uni echishning yangi usulini topish kerak.
cosx < 1 < 1+sin2 ax munosabat ixtiyoriy x lar uchun o’rinli bo’lgani uchun berilgan tenglik
yoki
sistemalar yechimga ega bo’lganda va faqat shundagina o’rinli bo’ladi.
Shunday qilib, oxirgi sistemalarni yechish va a ning qanday qiymatlarida u yagona yechimga ega bo’lishini aniqlash kerak. Berilgan tenglama yuqoridagi sistemaga teng kuchli bo’lganligi uchun a ning bu qiymatlari izlanayotgan qiymatlar bo’ladi.
Xuddu mana shu joyda mantiqiy qiyinchiliklarga duch kelamiz.
Birinchi tenglamalar sistemasini yechib,
ax= kπ, k=0,+1,+2,…yechimlarga , ikkinchi sistemani yechib
x=2nπ,n=0,+1+2,… yechimlarga ega bo’lamiz.
Bizga har ikkala tenglamani bir vaqtda qanoatlantiradigan x lar kerak, ya’ni shunday k va n sonlarni topishimiz kerakki, ikkita yechimlar to’plamida x ning yagona qiymati hosil bo’lsin. Shunday qilib, n va k ikki noma’lumli, a parametrga bog’liq
2anπ=kπ (1)
bitta tenglamani yechishimiz kerak. Ko’rinib turibdiki, ixtiyoriy a da n=k=0 sonlar tenglamaning yechimi bo’ladi. Bu qiymatlarga x=0 ildiz mos keladi. Shunday qilib, ixtiyoriy a da berilgan tenglama x=0 yechimga ega.
Agar n≠0 bo’lsa, u holda (1) tenglamani
a=k/2n (2)
ko’rinishda yozib olish mumkin.
Endi oldimizga qo’yilgan asosiy masalani eslaylik: biz oldimizga tenglamani yechish emas, balki a ning qanday qiymatlarida uning yagona ildizga ega ekanligini aniqlashimiz kerak edi.
Ammo (2) tenglikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy (n,k) juftlik berilgan tenglamaning x=2nπ=πk/a yechimlarini beradi. Binobarin, ixtiyoriy a da yagona x=0 ildizni topgan ekanmiz, endi a ning shunday qiymatlarini izlashimiz kerakki,
(2) shart bajariladigan k va n lar mavjud bo’lmasin. Ko’rinib turibdiki, agar a- irratsional son bo’lsa, bunday k va n lar haqiqatdan ham mavjud emas. Demak, dastlabki natijaga ega bo’ldik, ya’ni agar a- irratsional son bo’lsa, berilgan tenglama yagona yechimga ega bo’ladi.
Agar a- ratsional son bo’lsa, ya’ni a=p/q bo’lsa u holda a=2p/2q deb olib,
tenglamadan k=2p, n=q yechimlarga ega bo’lamiz. Demak, bu holda berilgan tenglama x=0 dan tashqari hech bo’lmaganda bitta (aslida cheksiz ko’p) yechimga ega bo’ladi. Shunday qilib, ratsional a larda tenglama bittadan ko’p yechimga ega bo’ladi. Masala yechildi.
Yuritilgan mulohazalar bizga qat’iy matematik yechimni berolmaydi. Shuning uchun quyida tenglamani yechishning qat’iy matematik usulini qarab chiqamiz.
Yuqorida ko’rindiki, ixtiyoriy a da tenglama yagona x=0 yechimga ega.
Endi a- irratsional bo’lganda boshqa yeshim yo’qligini, a- ratsional bo’lganda esa 0 dan boshqa yechimlar ham borligini isbotlaymiz.
cosx < 1 < 1+sin2 ax tengsizliklardan ko’rinadiki, x son faqat va faqat 1+sin2ax=1, cosx=1 yoki sinax=0 , cosx=1
shartlarni qanoatlantirgandagina berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi.
Agar x≠0 soni ohirgi sistemaning yechimi bo’lsa, birinchidan k-butun son uchun ax=πк tenglik, ikkinchidan n butun son uchun x=2nπ, n≠0 tengliklar o’rinli bo’ladi. Ammo 2aπn=πк→ a=к/2n tenglikdan a ratsional bo’lgani uchun qarama- qarshilikka duch kelamiz. Endi faraz qilaylik, a ratsional bo’lsin: a=p/q
U holda x=2πq soni noldan farqli yechim bo’ladi. Shunday qilib berilgan tenglama
a ning faqat va faqat irratsional qiymatlari uchun yagona yechimga ega bo’ladi. Berilgan masalani grafik usulda ham yechish mumkin. a≠0 deb hisoblaymiz, chunki a=0 da tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz sin2ax=cosx-1 va
y1=cosx-1, y2=sin2ax=1-cos2ax/2
ikkita funksiyani qaraymiz va bitta koordinatalar sistemasida ularning grafiklarini chizamiz:
Chizmadan ko’rinib turibdiki, berilgan tenglama ikkita grafik umumiy nuqtalarga ega bo’lganda va faqat shu holda yechimga ega bo’ladi. Bundan tashqari a ixtiyoriy son bo’lganda ikkita funksiyaning grafigi x=0 da kesishadi va grafiklar Ox o’qiga uringan holdagina umumiy nuqtalarga ega bo’lishi chizmada tasvirlangan, ya’ni sin2ax=0 va cosx=1 shartlar bir vaqtda bajarilgandagina o’rinli bo’ladi. Ammo ax=nπ lar uchun sin2ax=0 va x=2кπ lar uchun x=2кπ
bo’lgani uchun 2кπ≠nπ, n,к≠0 munosabat bajarilgandagina x=0 yagona ildiz bo’ladi.
Boshqacha qilib aytganda, noldan farqli n va k butun sonlar uchun a≠n/2k shart bajarilgabdagina berilgan tenglama yagona yechimga ega bo’ladi. So’ngra, huddi yuqoridagi kabi a-irratsional va faqat irratsional son bo’lgandagina tenglama yagona ildizga ega ekanligi ko’rsatiladi.
Parametrga bog’liq masalalarni yechish jarayonida ko’p hollarda quyidagicha mulohaza yuritish samara beradi. Faraz qilaylik, a- parametr masala shartini qanoatlantiruvchi biror tayinlangan son bo’lsin; a ning bunday qiymatlarini mos qiymat deb ataydilar. So’ngra, a ga nisbatan masala shartidan kelib chiqqan holda shartlar yoki mumkin bo’lgan hollarni hosil qilamiz. Bu bilan kerakli shartlarni qanoatlantiruvchi parametr a ning mos qiymatlari topiladi. Shunday qilib, bu shartlarni qanoatlantirmaydigan a parametrning qiymatlari o’z- o’zidan mos qiymatlar bo’lmay qoladi va hosil qilingan shartlarnigina qanoatlantiruvchi qiymatlarni qarash qoladi.
Hususan, agar bu shartlarni ba’zi konkret qiymatlar qanoatlantirsa, u holda masalani yechish bu qiymatlarni bevosita tekshirib ko’rishga keltiriladi.
Xulosa
Tadqiqot jarayonida qo’yilgan barcha maqsadlarga erishildi va kurs ishida qo’yilgan barcha masalalar yechildi hamda quyidagi natija va xulosalar olindi:
Funksiyalarning xossalaridan foydalangan holda tenglama va tengsizliklarni yechish usullarini qo’llashga doir masalalar qaraldi.
Parametrga bog’liq masalalarni yechish usullari o’rganildi.
Tenglama va tengsizliklarni yechishning qo’shimcha nostandart va sun’iy usullari qarab chiqildi va amalda qo’llanildi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
