Mavzu: Uzluksiz funkisya xossalaridan foydalanib elementar matematika misol va masalalarimi yechish

Tadqiqot ob’ekti – standart usullar yordamida yechish qiyin bo’lgan yoki standart usul katta hajmdagi amallarni bajarishga olib keladigan tenglama va tengsizliklar.
Kurs ishining maqsadi: tenglama va tengsizliklarni yechishning nostandart usullari bilan tanishish va ularni amalda qo’llash.

Qo’yilgan maqsadga erishish uchun bitiruv ishida quyidagi masalalar yechilgan:

1. 
   Tenglama va tengsizliklarni yechishda funksiyalarning xossalaridan fodalanishga asoslangan yechish usullarini o’rganish va amalda qo’llash.
   
2. 
   Tenglama va tengsizliklarni yechishning qo’shimcha nostandart usullarini ko’rib chiqish va amalda qo’llash.
   

Mazkur kurs ishi elementar matematikaning yuqorida so’z yuritilgan ” nostandart ” tenglama va tengsizlikni yechish usullariga bag’ishlangan bo’lib, u 2 ta bob, 8 ta paragrafdan iborat.
Birinchi bob, ko’p uchraydigan nostandart tenglamalar va ularni yechishning asosiy usullarini o’rganishga bag’ishlangan. Ikkinchi bob tenglama va tengsizliklarni yechishning qo’shimcha sun’iy usullarini o’rganishga bag’ishlangan.

1-BOB . FUNKSIYANING XOSSALARIDAN FOYDALANIB MASALALAR YECHISH

Har qanday f(x) = g(x) ko’rinishdagi tenglama yoki tengsizlik soddalashtirish yoki o’zgaruvchilarni almashtirish yordamida yechish algoritmi mavjud bo’lgan u yoki bu ko’rinishdagi standart ko’rinishga keltirilavermaydi. Bunday hollarda odatda, funksiyalarning ba’zi xossalari, masalan, monotonligi, davriylik, chegaralanganlik, juftligi va boshqa xossalaridan foydalanish muhim ahamiyat kasb etadi.

1. 1.1§. Funksiyaning monotonligidan foydalanish.

Agar D oraliqdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ , x₁ < x₂ sonlar uchun f (x₁) < f (x₂) tengsizlik bajarilsa, u holda f (x) funksiya D oraliqda o’suvchi deyiladi.
Agar D oraliqdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ , x₁ < x₂ sonlar uchun f (x₁) > f (x₂) tengsizlik bajarilsa, u holda f (x) funksiya D oraliqda kamayuvchi deyiladi.

1-chizma
Chizmada grafigi tasvirlangan y=f(x), x funksiya a;x₁) va (x₂; boraliqning har bir o’suvchi va (x₁ ;x₂) oraliqda kamayuvchi. Shuni eslatib o’tish joizki, bu funksiya [a; x1) va (x2; b] oraliqlarning har birida osuvchi, lekin bu oraliqlarning birlashmasi a; x1∪x2;bto’plamda o’suvchi emas.
Agar funksiya biror oraliqda kamayuvchi yoki o’suvchi bo’lsa, u holda u shu oraliqda monoton funksiya deb ataladi.
Agar f – biror D (f (x)) oraliqda monoton bo’lsa, u holda f (x) = const tenglama bu oraliqda bittadan ko’p ildizga ega bo’la olmasligini eslatib o’taylik. Haqiqatan ham, agar x₁ < x₂ lar bu tenglamaning D (f(x)) oraliqdagi ildizlari bo’lsa, u holda f (x₁) = f (x₂) = 0 tenglik funksiyaning monotonligiga zid. Monoton funksiyalarning bir qancha xossalarini sanab o’taylik (barcha funksiyalar biror D oraliqda aniqlangan deb faraz qilaylik).

• 
  Bir nechta monoton funksiyalarning yig’indisi yana monoton funksiya bo’ladi.
  
• 
  O’suvchi nomanfiy funksiyalarning ko’paytmasi o’suvchi funksiya bo’ladi.
  
• 
  Agar f o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda cf (c > 0) va f + c funksiyalar ham o’suvchi bo’ladi, cf (c < 0) funksiya esa kamayuvchi bo’ladi.
  

• 
  Agar f o’suvchi funksiya bo’lib, ishorasini saqlasa, u holda
  

funksiya kamayuvchi bo’ladi.

• 
  Agar f o’suvchi funksiya bo’lib, nomanfiy bo’lsa, u holda f ⁿ , n^N funksiya ham o’suvchi bo’ladi.
  
• 
  Agar f o’suvchi funksiya bo’lib, n –toq son bo’lsa, u holda f ⁿ , n∈ N
  

funksiya ham o’suvchi bo’ladi.

• 
  Ikkita o’suvchi f va g funksiyalarning g (f (x)) superpozisiyasi o’suvchi bo’ladi.
  

Xuddi shunga o’xshash tasdiqlarni kamayuvchi funksiyalar uchun ham keltirish mumkin.
Agar a nuqtaning shunday ε-atrofi mavjud bo’lib, bu atrofdan olingan barcha
x lar uchun f (a) ≥ f (x) tengsizlikbajarilsa, u holda a nuqta f funksiyaning

maksimum nuqtasi deyiladi.
Agar a nuqtaning shunday ε-atrofi mavjud bo’lib, bu atrofdan olingan barcha x lar uchun f (a) ≤ f (x) tengsizlik bajarilsa, u holda a nuqta f funksiyaning 2minimum nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimumga erishtiruvchi nuqtalari uning ekstremum nuqtalari deyiladi. Ekstremum nuqtalarda funksiyaning monotonlik xususiyati o’zgaradi.
Tenglama va tengsizliklarni funksiyalarning monotonlik xususiyatlaridan foydalanib yechish usullari quyidagi tasdiqlarga asoslanadi.

1. 
   f(х) funksiya T oraliqda uzluksiz va qat’iy monoton bo’lsin. U holda f(x) = С tenglama T oraliqda ko’pi bilan bitta yechimga ega bo’ladi.
   
2. 
   f(x) va g(х) funksiyalar T oraliqda uzluksiz bo’lib, f(x) qat’iy monoton o’suvchi, g(х) esa qat’iy kamayuvchi bo’lsin. U holda f(х)=g(х) tenglama T oraliqda ko’pi bilan bitta yechimga ega bo’ladi.
   

Shuni eslatib o’ish kerakki T oraliq sifatida (-∞;+∞) cheksiz oraliq, (а;+∞),
(-∞; а), [а;+∞), (-∞; b] oraliqlar, kesma, intervallar va yarim oraliqlar bo’lishi mumkin.

1-misol . Tenglamani yeching: x∙ =64 (1)

Yechish. Ko’rinib turibdiki, х ≤ 0 son berilgan tenglamaning yechimi bo’la

olmaydi, chunki barcha x larda x∙ ≤ 0 _o’rinli. х > 0 shartni qanoalantiruvchi x lar uchun y= x∙ funksiya uzluksiz va ikkita qat’iy o’suvchi nomanfiy funksiyalarning ko’paytmasi sifatida o’suvchi bo’ladi.Demak , х > 0 to’plamda y= x∙ funksiya o’zining har bir qiymatini bitta nuqtada qabul qiladi. Osongina tekshirib ko’rish mumkinki, х = 1 berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak, bu ildiz yagona yechim bo’ladi.