Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

1-chizma
2) yechim asimptotik turg‘un:

2-chizma
3) yechim turg‘un emas (noturg‘un)

3-chizma
1.1-misol. Ushbu

differensial tenglamaning yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Berilgan differensial tenglamani

ko‘rinishda yozib olamiz va uning umumiy yechimini topamiz:
.
Bundan tashqari ham berilgan differensial tenglamaning yechimidan iborat bo‘ladi. Endi boshlang‘ich shartga mos keluvchi yechimni aniqlaymiz:
.
Berilgan differensial tenglamaning yechimini turg‘unlikka tekshirishda, ushbu tengsizlikning bajarilishidan bahoning kelib chiqishini ko‘rsatish lozim. Ammo, qaralayotgan misolda bo‘lganda bo‘ladi. Shuning uchun da intiladi. Bu holda yechim turg‘un bo‘lmaydi.

4-chizma
1.2-misol. Ushbu

Koshi masalasi yechimini turg‘unlikka tekshiring.
Yechish. Avvalo berilgan differensial tenglamani

ko‘rinishda yozib olamiz va uning bir jinsli

qismining umumiy yechimini topamiz:
.
So‘ngra, berilgan bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimini

ko‘rinishda izlab, va noma’lumlarning qiymatlarini aniqlaymiz:
.
Demak, xususiy yechim ushbu

ko‘rinishada bo‘lar ekan. Shuning uchun berilgan bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi

ko‘rinishida bo‘ladi. Endi boshlang‘ich shartdan ekanligini topamiz. Natijada ushbu yechimni aniqlaymiz. Bu yerda bo‘lsa, u holda

funksiya berilgan Koshi masalasining yagona yechimidan iborat bo‘ladi. Bu yechimni turg‘unlikka tekshiramiz. Buning uchun quyidagi ayirmani baholaymiz:

Shunday qilib, agar desak, u holda tengsizlikning bajarilishidan bahoning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa yechimning Lyapunov ma’nosida turg‘un ekanligini ko‘rsatadi. Bundan tashqari yechim asimptotik turg‘un yechim ham bo‘ladi. Chunki