Mavzu: Turg’unlik tushunchasi

3-teorema (Vishnegradskiy). Koeffitsiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan
, (6)
uchinchi darajali ko‘phad turg‘un bo‘lishi uchun:
1) (7)
2) (8)
shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Avvalo
(9)
ko‘phadni tuzib olamiz. Bunda

Endi ushbu

tengliklardan foydalansak, (8) tengsizlik quyidagi ko‘rinishni oladi:
. (10)
Aytaylik, (9) tenglik yordamida aniqlanadigan ko‘phad turg‘un bo‘lsin. U holda 2-teoremaga ko‘ra, tengsizliklar bajariladi. Endi (10) tengsizlikning bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun teskarisini faraz qilamiz, ya’ni ko‘phad turg‘un bo‘lib, (10) tengsizlik bajarilmasin. U holda yoki , yoki munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Berilgan ko‘phadni
(11)
ko‘rinishda ifodalaymiz.
1-hol. Aytaylik, bo‘lsin. U holda (11) tasvirdan

kelib chiqadi. Bu ko‘phad ko‘rinishdagi sof mavhum ildizga ega. Shuning uchun ko‘phad noturg‘un bo‘ladi. Bu esa farazimizga zid.
2-hol. Aytaylik, abAgar bo‘lsa, u holda ko‘rinishni oladi. Uning ildizlari . Demak, ko‘phad mavhum o‘qdan o‘ngda joylashgan ikkita ildizga ega. Bu holda ko‘phad noturg‘un bo‘ladi. Mazkur xossa va larning nolga yetarli yaqin qiymatlarida ham o‘rinli. Chunki ildizlar ko‘phad koeffitsiyentlarining uzluksiz funksiyasidir. Shunday qilib tengsizlik bajarilganda ko‘phad noturg‘un bo‘ladi.