Mavzu: Skalyar va vektor miqdorlar. Tеnzоr. Tеnzоrlar ustida amallar. Tеnzоr invariatlari. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar. Levi-Chivita tenzori. Ikkinchi rang tenzorlar va matritsalar, Shar va deviator

Tenzorning skalyar invariantlari

Tutash muhit mexanikasi qoidalarining matematik ifodalari koordinat sistemasining tanlanishiga bog’liq bo’lmasligi kerak. Ushbu talab matematik ifodalar faqat invariant ob’ektlar orqali yozilishi kerakligini taqozo qiladi. Bu esa o’z navbatida vektor va tenzorlarning invariantlarini hosil qilish zaruriyatini keltirib chiqaradi.

Faraz qilaylik

vektori berilgan bo’lsin. Bu vektorning uzunligini qaraymiz
,
bu yerdan ifoda invariant ekanligi kelib chiqadi, chunki vektorning kontravariant va kovariant komponentalari o’zaro teskaridirlar. Demak, vektorning faqat bitta mustaqil invarianti mavjud bo’lib, u ham bo’lsa uning uzunligidir. Endi tenzorning rangini g _ij lar yordamida pasaytiraylik

ko’rinib turibdiki bunday amal natijasida songa (skalyarga) ega bo’ldik. Ma’lumki skalyar miqdorlar koordinat sistemasining tanlanishga bog’liq emas. Demak, miqdor tenzorning invariantidan iboratdir va uni ikkinchi rang tenzorning birinchi invariant deb ataymiz. Quyidagi ifodalar

invariantlarni tashkil qilishini tekshirish qiyin emas. Shunday qilib ikkinchi rang tenzorning uchta invarianti mavjud
(4)
Tenzorning bosh o’qlari va komponentalari tushunchalarini tenzor sirti tushunchasi bilan bog’liq holda kiritamiz. Buning uchun  ¹,  ²,  ³ koordinatalar sistemasining boshiga juda yaqin tyurgan nuqtani olamiz va vektori hamda tenzorning komponetalaridan tuzilgan ifodani qaraymiz. Ushbu ifoda invariant bo’lganligidan
(5)
bu yerda C- biror skalyar miqdor. Belgilangan O nuqtaning cheksiz kichik atrofida C ning ma’lum qiymati va T_ij larning O nuqtada olingan qiymatlarida (5) ikkinchi tartibli sirt tenglamasidir. Bu sirt tenzor sirti deyiladi.
Demak, har qanday ikkinchi rang tenzorga har bir nuqtada (5) ikkinchi taztibli sirtni mos qo’yish mumkin. Ma’lumki (5) tenglamani koordinat sistemasini almashtirish yo’li bilan quyidagi kanonik

k
o’rinishga keltirish mumkin. Bunda koordinatalar sistemasi ortogonal
bo’ladi. Demak, fazoning har bir nuqtasi uchun shunday koordinatalar o’qlarini kiri tish mumkinki, bunda ikkinchi rang simmetrik tenzorning faqat uchta T₁₁, T_22, T₃₃ kooponentalari noldan farqli bo’ladi. Bunday koordinat o’qlari tenzorning bosh o’qlari deyiladi.
O’qlari bosh o’qlar bo’ylab yo’nalgan koordinatalar sistemasi esa tenzorning bosh koordinat sistemasi deyiladi. Bosh koordinatalar sistemasidagi tenzorning har qanday noldan farqli har xil komponentalari bosh komponentalar deyiladi.

5.