Mavzu: Skalyar va vektor miqdorlar. Tеnzоr. Tеnzоrlar ustida amallar. Tеnzоr invariatlari. Simmetrik va antisimmetrik tenzorlar. Levi-Chivita tenzori. Ikkinchi rang tenzorlar va matritsalar, Shar va deviator

Tenzorning indekslarini ko’tarish va tushirish.

Tenzorning rangini pasaytirish.
O’tgan 1-ma’ruzadagi (14) formulaga asosan g fundamental metrik tenzor yordamida tenzor komponentalarining yuqori indekslarini tushirish mumkin degan xulosaga kelamiz. Xuddi shunday tenzor komponentalarining pastki indekslarini ko’tarish ham mumkin. Masalan,

Bu yerda T tenzor komponentalarining indekslari ko’tarildi va yana qisman tushirildi. Fundamental metrik tenzor yordamida bajarilgan yuqoridagi amal indekslarni ko’tarish va tushirish amali deyiladi.
Tenzorlarning ranglarini pasaytirish ham mumkin. Lekin bu amal faqat aralash komponentali tenzorlar uchungina o’rinlidir. Ushbu amal bilan xususiy misolda tanishamiz. Faraz qilaylik aralash komponentali uchinchi rang tenzor berilgan bo’lsin. Bu tenzorning hamma komponentalari ichidan faqat i = j bo’lganlarini tanlab olib, ularning yig’indisini qaraymiz:

Ko’rinib turibdiki bu yig’indi faqat k indeksgagina bog’liq, chunki -«gung» indeksdir. yig’indi komponentalar ustida i va j indekslar bo’yicha tenzorning rangini pasaytirish amali natijasidir. Bunday amalni bajarish natijasida tenzorning rangi birlikka kamayadi. Demak,

tenzorining rangi birga teng. Agar tenzor o’zining faqat konrtavariant yoki faqat kovariant komponentalari bilan berilgan bo’lsa uning rangini pasaytirish g fundamemtal metrik tenzor yordamida bajariladi:

demak,

ya’ni bundan keyin tenzorning rangini pasaytirish uchun uning komponentasini avvalo fundamental metrik tenzor yordamida aralash holga keltirish va shundan keyin rangini pasaytirish mumkin.

3.