|
Abu Komil masalasi.
Masala. 10 sonini shunday x va 10-x qismlarga ajratish kerakki
tenglik o’rinli bo’lsin.
Yechish. Mos ikkinchi darajali tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
U ga ko’paytirilgandan so’ng
tenglamaga keltiriladi.
Abu Komil boshqa oddiy yechimni topgan. U ni u orqali belgilab tenglamani olgan, bundan kelib chiqqan.
tenglamadan x noma’lumni aniqlaymiz, uning maxraji irrasional. ni topish uchun Abu Komil
tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko’taradi.Unda
va ni hosil qilamiz.
Takrorlash uchun savollar:
1.Qadimgi Misrda matematika tarixiga oid qanday manbalar saqlanib qolgan?
2.Raynd papirusidagi matematik tushunchalarni qanday izohlash mumkin?
3.Misrda arifmetik amallar ni bajarish usullarini ayting.
4.Misrda geometriya qanday rivojlangan edi?
2. Vavilonda (Bobil) matematika
Tigr va Yevfrat daryolari orasida joylashgan bu qadimgi davlat madaniyatini shumerlar yaratdilar. Ular yoyib yozish usulini topdilar va 60 lik sanoq sistemasini ishlata boshladilar. Shumer – vavilon matematikasi manbalari bo’lib toshlarga o’yib yozilgan jadvalchalar hisoblanadi. 500 000 jadvalchadan 150 tasida masalalar matni va yechimlari berilgan, har bir jadvalchada 18 tadan 100 tagacha masala bo’lib, faqat bittasi 148 ta masala shartlarini o’z ichiga olgan.
Matematik matnlarning ko’pchiligi – mirzalar maktablari yoki saroy amaldorlari tayyorlovchi maktablar uchun o’quv qo’llanmalari mashqlardan iborat edi. Ular Vavilonda Xamurapi dinastiyasi hukmronlik qilgan taxminan eramizgacha 1800-1600 yillarda yozilgan, boshqalari eramizgacha uch yuz yilliklari (selikvidlar davrida) yozilgan.
Vavilon matematikaisining buyuk yutug’i tarixda birinchi bo’lib pozision oltmishlik sanoq sistemasini yaratganligi hisoblanadi. Bu sistema ikki belgi yordamida qo’llanilar edi. Tik ishora I ni, yotiq ishora –10 ni bildirar edi. 1,2,., 58, 59 birinchi razryad birliklari bo’lib, 60 ta birinchi razryad birligi, 60 dan 602 gacha sonlar ikkinchi razryad birliklari va hokazo hisoblangan
Bir razryad doirasida, masalan 1 dan 59 gacha sonlarda o’nli pozision bo’lgan sistemaga amal qilinsa, har bir yuqori razryadga o’tishda esa 60 lik pozision sistemaga rioya qilinadi.
Eramizgacha V asrda falakiyot ilmi ehtiyojlari tufayli nol raqami o’rnini o’ynovchi maxsus belgi kiritilgan. Bu belgidan agar razryad o’rni bo’sh bo’lsa, ya’ni sonda bu razryad birliklari bo’lmagan taqdirda foydalanilar edi. Sonlar quyidagi tartibda yozilar, shartidangina sonni aniqlash mumkin edi. Bundan Vavilon oltmishlik sanoq sistemasi barqaror emasligi kelib chiqadi. Shunga qaramasdan bu buyuk yutuq edi. Hozirgacha besh ming yillar o’tganidan keyin ham shumerlar yaratgan 60 lik sistemasida vaqt va burchaklarni hisoblashda foydalanilmoqda.
60 lik sistemasi Vavilon hisoblash matematikasiga katta ta’sir ko’rsatadi. Ko’paytirish jadvali ta ko’paytmani o’z ichiga olar edi. Ularni eslab qolish qiyin edi, shu sababdan masalalar yechish paytida matematik jadvallardan foydalanilar edi. Bu jadvallarda sonli kvadratlari , kublari sonlarning kvadrat va kub ildizlari, ko’paytirish jadvallari , ko’rinishidagi yig’indilarni hisoblash uchun jadvallar va hokazo.
Vavilonliklarda qo’shish va ayirish so’zlar bilan yozilgan bo’lsa, ko’paytirish uchun maxsus atama ishlatilar edi. Ular uchun bo’lish murakkab amal hisoblanib, ni kabi tushunar edilar. ni hisoblayotgan vaqtda ular quyidagi qoidaga amal qilar edilar: ning teskarisini olasan va uni topib ga ko’paytirsang ni topasan. Shuning uchun ham ko’rinishdagi sonlar teskarilarini topishga mo’ljallangan jadvallar juda ko’p edi. sonining qismi uchun qiziq atama ishlatilgan. Bunda " dan sindirib olmoq" ta’rifidan foydalangan bo’lsalar, ni bo’lakka bo’lishni esa « ni ga sindirmoq»deb ta’rif qilganlar.
Klinopis jadvallarida arifmetik masalalar juda kam. Ularni yechish usullari proporsional bog’lanish va o’rta arifmetikni topish g’oyalariga asoslangan edi. Arifmetik va geometrik progressiyalar misrliklarga qaraganda rivojlangan edi. Ular
qoidani bilar edilar, geometrik progressiyaga doir turli masalalarni yecha olardilar. Xamurappi dinastiyasi davriga kelib kvadrat tenglamalar algebrasi yuqori saviyaga erishdi, yuqori darajali tenglamalarni yecha olardilar. Kvadrat tenglamaga keltiriladigan Vavilon masalalari amaliyot ehtiyojlaridan kelib chiqqan matematika nazariyasining dastlabki namunalari edi. Ikkita noma’lumdan biri uzunlik, ikkinchisi eni deb atalib, ularning ko’paytmasi – yuza, maydon yoki uzunlik-eni deb yuritilar edi. Kubik tenglamalarda uchinchi noma’lum chuqurlik, ko’paytmani esa- hajm deb ataganlar. Masalalar shartlarida berilgan va o’zgaruvchilar geometrik miqdorlar bilan tavsiflansada, vavilonlik matematiklar ular bilan abstrakt o’zgaruvchi miqdorlar kabi ish ko’rdilar.
Vavilonliklar faqat musbat rasional sonlarni bilar edilar va shuning uchun tenglamalar koeffisentlari shunday tanlanar ediki, tenglamalarning ildizlari musbat bo’lar edi.
Yuqorida zikr etilgan manbalarda ko’pgina masalalar
ko’rinishdagi sistemalarini yechishga keltiriladi. Shuningdek
yoki o’nli sanoq sistemasida
kabi murakkab sistemalar ham uchraydi.
Qolgan sistemalar tenglamani yechishga keltirilgan, ular ko’rinib turibdiki shaklidagi sonlar jadvali yordamida yechilgan.
Misrliklar kabi vavilonliklar geometriyani rivojlantirishga katta hissa qo’shdilar. Ular kvadrat va uchburchakni abstrakt figuralar sifatida qarasalar, to’g’ri to’rtburchakni – «uzunlik va enilikka ega» figura deb qarar edilar. Ularda «nuqta», «to’g’ri chiziq», «chiziq», «sirt», «yuza», «paralellik» va «perpendikulyarlik» kabi tushunchalar yo’q edi. Arxitektura, qurilish, harbiy ishlar va hokazolarda uchraydigan tekis yoki fazoviy figuralar elementlarini hisoblashga doir masalar qaralgan. Yechishning aniq usullari bilan birga taqribiy yechish usullari ham qo’llanilgan. Aylana uzunligini diametr uch barobari sifatida olishgan, bunda aniqlikda olingan. Ana shunday aniqlikda doira yuzasi ham hisoblangan. Bunda vavilonliklar birinchi marta sonini aylana uzunligi biln bog’ladilar.
Vavilon matematikasi eng buyuk yutuqlaridan biri Xamurappi davridayoq qo’llanilgan Pifagor teoremasininging kashf qilinishi hisoblanadi. Klinopis manbalarida muntazam besh va oltiburchakli shakllarning yuzalarini topish, murakkab foyizlarga doir hamda logarifmlarning ayrim hollariga oid masalalarni uchratish mumkin Shumer-vavilonliklar misrliklar kabi ilmiy taraqqiyot eng yukori cho’qqilariga chiqa olmadilar, lekin ularning xizmatlarini pasaytirib ham bo’lmaydi, chunki ular birinchilardan edilar.
Do'stlaringiz bilan baham: |
