Mavzu. Ortogonal proyeksiyalarni qayta tuzish usullari reja

2. Proyeksiyalar tekisliklarini ikki marta almashtirish

Ba’zi masalalarni yechishda proyeksiyalar tekisliklaridan birini almashtirish bilan kerakli natijaga erishib bo’lmaydi. Bunday vaziyatda proyeksiyalar tekisligini ketma-ket ikki marta almashtirishga to’g’ri keladi.

1-misol. Umumiy vaziyatda berilgan ABC(A₁B₁C₁;A₂B₂C₂) uchburchak yuzasining haqiqiy kattaligi topilsin (5.7-shakl). Bu masalalani yechish ikki bosqichdan iborat bo’lib, ular quyidagilardir:
1. ABC uchburchak tekisligi yangi sistemada proyeksiyalovchi (ya’ni biror tekislikka perpendikulyar) holatga keltiriladi;
2. Ikkinchi almashtirishda yangi proyeksiyalar tekisligi uchburchak tekisligiga parallel holda olinadi. Shaklda yangi V₁ tekislik maxsus chiziq A1(A₁1₁;A₂1₂) ga perpendikulyar olingan bo’lib, X₁X₁ o’q bu maxsus chiziqqa perpendikulyardir.
5.7-shakl

Tanlangan V₁ tekislikka ABC uchburchak A'₂B'₂C'₂ to’g’ri chiziq kesmasi ko’rinishda proyeksiyalanadi.

Endi H, V₁ sistemadan V₁, H₁ sistemaga o’tamiz. Yangi H₁ proyeksiyalar tekisligi ABC ga parallel olinadi, u holda X₂X₂ proyeksiyalar o’qi A'₂B'₂C'₂ ga parallel yo’naladi. Proyeksiyalash yo’nalishi H₁ ga nisbatan perpendikulyar bo’ladi. B nuqtani H₁ tekisligida topishni ko’rib chiqamiz. B'₂ nuqtadan X₂X₂ ga perpendikulyar bog’lovchi chiziq o’tkazib, unga B₁B_X1 masofani B_X2 nuqtadan qo’yib, B'₁ nuqtani belgilaymiz. Shu usul bilan uchburchakning qolgan nuqtalari A'₁ va C'₁ topiladi. Hosil bo’lgan A'₁B'₁C'₁ uchburchak berilgan uchburchak yuzasining haqiqiy kattaligi bo’ladi.
2-misol. Fazodagi A(A₁;A₂) nuqtadan BC(B₁C₁;B₂C₂) to’g’ri chiziqgacha bo’lgan eng qisqa masofa aniqlansin (5.8-shakl). Yangi proyeksiyalar tekisligiga BC to’g’ri chiziq kesmasi nuqta ko’rinishida proyeksiyalanishi kerak, demak yangi proyeksiyalar tekisligi BC ga perpendikulyar holda bo’ladi. Bu masala ham H,V sistemadagi proyeksiyalar tekisligini ikki marta almashtirishni taqozo qiladi. Birinchi almashtirishda V₁ tekislik BC ga parallel olinadi, ya’ni V₁B₁C₁, demak, X₁X₁B₁C₁ bo’ladi, V₁ tekislikda BC ni haqiqiy kattaligi B'₂C'₂ ga ega bo’lamiz. Ikkinchi marta almashtirishda H₁ ni jumladan X₂X₂ ni ham B'₂C'₂ ga perpendikulyar olib unda B'₁C'₁ nuqtaga ega bo’lamiz. Har ikki almashtirish jarayonida A(A₁;A₂) nuqta ham almashtirib boriladi. H₁ dagi A'₁ ni B'₁C'₁ bilan birlashtirib nuqtadan to’g’ri chiziqqacha bo’lgan eng qisqa masofaning haqiqiy kattaligiga ega bo’lamiz. V₁ tekislikdagi A'₂ nuqtadan X₂X₂ ga parallel o’tkazib B'₂C'₂ da K'₂ ni aniqlaymiz. K nuqtaning birlamchi proyeksiyalarini teskari proyeksiyalash yo’li bilan aniqlanadi.
5.8-shakl

3-misol. AB(A₁B₁;A₂B₂) va CD(C₁D₁;C₂D₂) chalmashuvchi ikki to’g’ri chiziq orasidagi eng qisqa masofa aniqlansin (5.9-shakl). Buning uchun to’g’ri chiziqlardan biri (masalan CD) ni biror tekislikka nisbatan perpendikulyar holga keltiramiz. Yangi V₁ tekislik CD ga parallel olinadi (X₁X₁C₁D₁), va AB hamda CD kesmalarning yangi V₁ tekislikdagi A'₂B'₂ va C'₂D'₂ proyeksiyalari hosil qilinadi.

Ikkinchi almashtirishdagi H₁ tekislik C'₂D'₂ ga perpendikulyar tanlanib (X₂X₂C'₂ D'₂), H₁ tekislikdagi A'₁B'₁ va C'₁D'₁ ni topiladi. CD to’g’ri chiziq kesmasining H₁ tekislikdagi C'₁D'₁ nuqta ko’rinishdagi proyeksiyasi orqali A'₁B'₁ ga perpendikulyar o’tkazib izlangan masofa topiladi. A'₁B'₁ dagi E'₁ nuqta va C'₁D'₁ dagi F'₁ nuqtaning birlamchi proyeksiyalari teskari yo’nalishda proyeksiyalanib topiladi.
5.9-shakl
4-misol. ABC(A₁B₁C₁;A₂B₂C₂) va ABD(A₁B₁D₁;A₂B₂D₂) uchburchak tekisliklari orasidagi ikki yoqli burchakni o’lchovchi chiziqli burchakning haqiqiy kattaligi aniqlansin (5.10-shakl). Bu masalani yechish uchun yangi proyeksiyalar tekisligi har ikkala uchburchak tekisliklariga bir vaqtda perpendikulyar bo’lishi kerak, demak ularning o’zaro kesishish chizig’i (ya’ni AB) ga perpendikulyar bo’lishi kerak. Lekin, uchburchaklarning umumiy tomoni AB umumiy vaziyatda bo’lgani uchun H, V sistemani avval H, V₁ sistemaga almashtirib, ya’ni V₁AB, X₁X₁A₁B₁, so’ngra bu H, V₁ sistemani H₁AB, X₂X₂A'₂B'₂ qilib ketma-ket almashtiramiz. Natijada ABC va ABD uchburchaklar H₁ proyeksiyalar tekisligiga prependikulyar bo’lib qoladi va kesishuvchi kesmalar ko’rinishda proyeksiyalanadi. Bu kesmalar orasidagi  burchak izlangan burchak bo’ladi.

5.10-shakl