Mavzu: oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning helmeng va adams beshfort usullari reja: kirish I bob. Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Kurs ishining ob’ekti: Mavzuga oid ma’lumotlar va ularning amaliy tahlili.
Kurs ishining maqsadi: Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Helmeng va Adams Beshfort usullari ishlab chiqish va takomillashtirish, ilg’or o’qituvchilar ish tajribasini hisobga olgan holda o’rganish, o’qitish jarayonining samarali bo’lishi uchun ishlab chiqarilgan metodik xulosalardan o’rinli foydalanish.
Kurs ishining predmeti: Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Helmeng va Adams Beshfort usullarining maqsadi, metodi, vositasi, mazmuni va shakli.
Kurs ishining vazifalari:
1.Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)ni o'rganish;
2.Darajali qatorlar yordamida integrallashni o'rganish;
3.Galerkin usuli,Eyler va Runge – Kutta usulini o'rganish;
4.Chegaraviy masalalarni chekli ayirmali usullar yordamida yechish o’rganish va tadqiq etishdan iborat.
Kurs ishining tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 bob (4 ta paragraph), xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati va ilovalardan iborat.


I BOB.ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI
1.1.Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)
Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.
Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.
Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi.
Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.
Bizga,
y^’=f(x,y) (7.1.1)
birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x₀)=u₀ - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x₀| a; |y-y₀| b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.
(7.1.1) dan
dy=f(x,u)dx
ifodani ikkala tomonini «x₀» dan «x» gacha integrallasak
(7.1.2)
Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda
(7.1.3)
Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (7.1.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.
(7.1.3) da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u₀”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u₁(x) ni topamiz:
(7.1.4)
Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u₁” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u₂(x)” ni hosil qilamiz:
(7.1.5)
Ushbu jarayonni davom ettirsak

(7.1.6)
Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik
u₁(x), u₂(x), u₃(x), ..., u_n(x), (7.1.7)
Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema. Agar (x₀;u₀) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va
chegaralangan xususiy hosilasi f_y (x,y) mavjud bo’lsa, u
holda Pikar {y_i (x)} ketma-ketligi (7.1.1) tenglamaning
yechimi bo’lgan va u(x₀)= u₀ shartni qanoatlantiruvchi u(x)
funktsiyaga yaqinlashadi.
Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (7.1.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (7.1.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.
Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning x₀=0 da u₀=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x₀» dan «x» gacha integrallasak

“u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u₀”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u₁(x) ni topamiz:

(7.1.5) ga asosan

Xuddi shuningdek u₃ va u₄ ni ham hisoblasak


Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:

Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u₃ va u₄ aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.