Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

Al-Xorazmiy ishlarida geomeriya
Xorazmiy  algebra  asarining  ikkinchi  bo’limi  geometriyaga  bag’ishlangan  bo’lib,  unda
shakllarni o’lchash qoidalari va algebraning ba’zi bir geometrik masalalarga tatbiqi ko’rsatilgan.
Xorazmiy  uchburchaklar,  to’rtburchaklar  va  aylana  haqida  yozadi.  U  uchburchaklarni,
to’g’ri  burchakli,  o’tkir  burchakli  va  o’tmas  burchaklarga  bo’lib,  bu  hollarni  aniqlash  maqsadida
uchburchak  katta  tomonining  kvadrati  bilan  qolgan  ikki tomoni  kvadratlari  yig’indisi  orasidagi
munosabatda foydalanadi. Doira burchaklari, ularning xossalari, turlari, yuzlarini topish qoidalarini,
Pifagor teoremasini va  bir qancha geometrik masalalar echilishini bayon qiladi. Xorazmiy Pifagor
teoremasini xususiy holda teng yonli uchburchak uchun isbotlaydi.
U  yozadi:  to’g’ri  burchakli  uchburchakda,  uning  kichik  tomonlari  kvadratlarining
yig’indisi,  tomonining  kvadratiga  teng,  o’tkir  burchakli  uchburchakda  uning  kichik  tomonlari
kvadratlarining  yig’indisi  katta  tomonining  kvadratidan  katta  bo’ladi.  O’tmas  burchakli
uchburchakda  uning  kichik  tomonlari  kvadratlarining  yig’indisi  katta  tomonining  kvadratidan
kichik bo’ladi.
Xaqiqatdan  ham  uchburchak  tomonlarini  a,  b,  c  bilan  belgilab,  kosinuslar  teoremasiga
asosan c
2
=a
2
+b
2
-2ab  cos

deb  yozish  mumkin,  u  vaqtda
2



bo’lganda,  c
2
=a
2
+b
2
bo’ladi.
2



bo’lganda a
2
+b
2
>c
2
bo’ladi.
2



bo’lganda, a
2
+b
2
2
bo’ladi.
“Bilki, deb yozadi Xorazmiy, - har bir to’g’ri burchakli uchburchak shundayki, agar kichik
tomonlarining  har  biri  o’z-o’ziga  ko’paytirilsa  va  bu  ko’paytmalar  qo’shilsa,  bu  katta  tomonining
o’z-o’ziga  “ko’paytmasiga  teng  bo’ladi”.  Buni  isbotlash  uchun  Xorazmiy  ABCD  kvadrat  shakl
yasaydi.  Uning  AC  tomonini  E  nuqtada  teng  ikkiga  bo’lib,  unga  EG  perpendikulyarni  o’tkazadi.
AB  ni  F  nuqtada  teng  ikkiga  bo’lib,  ungi  FH  perpendikulyarni  o’tkazadi.U  vaqtda  ABCD  shakl
to’rtta  o’zaro  teng  shakllardan  iborat  bo’ladi.  So’ngra  EF,  FG,  GH,  HE  chiziqlarni  o’tkazib,
sakkizta  o’zaro  teng  uchburchaklar  hosil  qiladi.  AF  chiziqning  o’z-o’ziga  ko’paytmasi  bilan  AE
chiziqning  o’z-o’ziga  ko’paytmasi  birgalikda  to’rtta  o’zaro  teng  uchburchaklar  yuzlarini  hosil
qiladi.  FE  chiziqning  o’z-o’ziga  ko’paytmasi  ham xuddi  shunday  o’zaro  teng  uchburchaklar
yuzlarini tashkil etadi. Isbot ana shundan iborat.
Xorazmiy  to’rtburchaklar  besh  xil  shaklda  bo’lishini  yozib,  ularning  yuzlarini  topish
qoidalarini  bergan.  Shu  jumladan,  rombning  yuzi  uning  dioganallari  yoki  bir  dioganali  va  tomoni
orqali ifodalanishi mumkin deb yozadi.
Bu  bobda  Xorazmiy  amaliy  ahamiyatga  ega  bo’lgan  bir  qancha  geometrik  masalalar  va
ularni echish usullarini bayon etadi.
Masalan, tomonlari BC=15,   AB=14,   AC=13 bo’lgan o’tkir burchakli uchburchak yuzini
Xorazmiy quyidagicha topadi.  7-shakl.
S
A              x         D                         B                           7-shakl
Pifagor  teoremasiga  asosan: h
2
=15
2
-(14-x)
2
va h
2
=13
2
-x
2
.
Demak,  15-(14-
x)
2
=13
2
-x
2
, bundan 28x=140,   x=5, u vaqtda h
2
=169-25=144, h=12. Uchburchakning yuzi:
84
12
14
2
1
2
1






h