Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

x
21
25
5



x
21
2
10
2
10
2









x
21
2
10
2
10
2









x
21
2
10
2
10
2









x
21
2
10
2
10
2









x
Agar  bu  formula x
2
+c=bx ko’rinishdagi  tenglamaga  tatbiq  etilsa:
c
b
b
x









2
2
,
1
2
2
bo’ladi.
Ma’lumki,  IV – VI  tipda  echiladigan  ikkinchi  tartibli  tenglamalarni  umuman  olganda
0
2



c
bx
x
ko’rinishdagi  tenglamalar  deyish  mumkin.  Yuqoridagi  misoldan  bu  ko’rinishdagi
M
E
L
K
5-x
C
N
Q
H
F
5    x
B        X
X
D

---

83
keltirilgan  kvadrat  tenglamaning  musbat  ildizlarini  topish  formulasi:
c
b
b
x










2
2
2
ni
birinchi bo’lib Xorazmiy o’z asarida bayon etganligini ko’ramiz.
Tenglamalarni echish bobidan so’ng Xorazmiy misolda algebraik ifodalar ustida amallarni
bajarish qoidasini bayon etadi. Algebraik ifodalarda – tenglamalarda qatnashgan miqdordagi ildiz,
kvadrat  va  sonlardan  tashqari,  kvadrat  ildiz  ishtirok  etadi.  Rastional  algebraik  ifodalar  ustida  to’rt
amaldan  tashqari,  kvadrat  ildizlarni  bir-biriga  ko’paytirish  va  bo’lish  hamda  ko’paytuvchining
kvadrat ildiz ishorasi ostiga kiritish amallari bajariladi. Bu amallarning ayrimlarini bajarish foidasi
umumiy ko’rinishda berilib, so’ng misollar keltiriladi.
Xorazmiy  musbat  va  manfiy  sonlarni  hozirgidek  “plus”  va  “minus”  terminlari  bilan
atamasdan  ularni  qo’shish  va  ayirish  ma’nosida  “qo’shiluvchi”  va  “ayriluvchi”  sonlar  nomi  bilan
ataydi. Masalan, -a, -x va –x
2
larni ayiruvchi son ildiz yoki narsa va kvadrat nomi bilan ataydi va
ko’paytirishda ishora qoidasini misolda quyidagicha ko’rsatadi: (-1)·(-1)=+1 – ayriluvchi bir bilan
ayriluvchi  birning  ko’paytmasi  qo’shiluvchi  bir,  (-x)·(-x)=+x
2
– ayriluvchi  narsani  ayriluvchi
narsaga ko’paytmsi qo’shiluvchi kvadratdir, (-x)·(10)=-10x – ayriluvchi narsani qo’shiluvchi o’nga
ko’paytmasi,  ayriluvchi  o’nta  narsa  10-x    ni  “narsasiz  o’n”,  x-10    ni  “o’nsiz  narsa”,  100-x
2
ni
“kvadratsiz yuz” va hokozo iboralari bilan ataydi.
Xorazmiy algebraik ifodalar ustida avval ko’paytirish so’ng qo’shish va ayirish, oraliqda
esa  bo’lish  amallarini  bajaradi.  Ko’pxadni  bir  hadga  va  ko’phadga  ko’paytirishning  yangi
o’rganuvchilar  uchun  tushunarli  bo’lishini  e’tiborga  olib  avval  aniq  sonda,  so’ng  rastional  va
kvadrat  irrastionallikda  ko’rsatadi.  Xorazmiy:  “Men,  alohida  turgan  narsalarni,  agar ular  ildizlar
bo’lsa  yoki  ildizga  biror  son  qo’shilgan  yoki  ayrilgan  bo’lsa,  ularni  bir-biriga  ko’paytirishni,  bir-
biriga  qo’shish  va  birini  biridan  ayirishni  senga  bayon  etaman”  deb  va
)
(
)
(
b
y
a
x



ni
ko’paytirishning umumiy qoidasini beradi va bu qoida bo’icha misollar keltiradi. Bu misollardan bir
necha namunalar ko’rsatamiz:
1)
“Agar  birsiz  o’nni  birsiz  o’nga  ko’paytirsang,  bu  o’nning-o’nga  ko’paytmasi  yuz
ayriluvchi birni o’nga – bu ayriluvchi o’n yana ayriluvchi birni o’nga – bu ayriluvchi o’n, hammasi
birgalikda – sakson,  ayriluvchi  birni  ayriluvchi  birga – bu  qo’shiluvchi  bir  va  bular  hammasi
birgalikda – sakson  bir”  shu  ko’paytirish  qoidasini  hozirgi  belgilarda  quyidagicha  ifodalash
mumkin:                   (10-1) ·(10-1)=10·10-1·10-10·1+1·1=100-10-10+1=80+1=81
2)
“Agar senga narsa bilan o’nni o’nsiz narsaga (ko’paytir) deyilsa, sen ayt: narsaning
o’nga  (ko’paytmasi) – bu  qo’shiladigan  o’n  narsa  narsaning  narsaga – bu  qo’shiluvchi  kvadrat,
ayriluvchi  o’nning  o’nga - bu  ayriluvchi  yuz  dirham,  ayriluvchi  o’nning  narsaga – bu  ayriluvchi
o’n  narsa;  shuning  uchun  sen  qo’shiluvchi  o’n  narsani  ayriluvchi  o’n  narsaga  qarama-qarshi
qo’yganingdan,  ya’ni  etishtirganingdan  keyin,  dirhamlarsiz  kvadrat  deysan  yoki  yuz  dirhamsiz
kvadrat qoladi”. Hozirgi belgilarda bu (10+x) ·(x-10)=(x+10)·(x-10)=x·x+10·x-10·x-10·10=x
2
+10x-
10x-
-100=x
2
-100 bo’ladi.
3)
Xorazmiy  bir  jinsli  bo’lgan  algebraik  ifodalarni  qo’shish  va  ayirishni  kesmalarda
tasvirlab  isbotlaydi.  Masalan:  “O’nsiz  ildiz  ostiga  ikki  yuzga  ildiz  ostiga ikki  yuzsiz  yigirmani
qo’shishga  kelsak,  u  shaklda  quyidagicha  bo’ladi”-deb  Xorazmiy  isbotdagi  yasashlarni  so’z  bilan
bayon etadi. Uning isbotini hozirgi belgilar bilan mana bunday yozish mumkin:
Agar
200
